Calcule:
integral 2 d xx raiz1-4 ln ^2 x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral 2,dxxraiz1-4ln^2x. O conteúdo aqui é integração por substituição e o resultado vai usar a função arco-seno.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=ln x. Assim, derivando, temos du=dxx, ou seja, dx/x=du. Isso simplifica o fator 1/x da integral.
Substituindo na integral, o numerador 2,dx/x vira 2,du e o termo dentro da raiz fica 1-4u^2. Então
integral 2,dxxraiz1-4ln^2x = integral 2,duraiz1-4u^2

Passo 3

Para simplificar ainda mais, definimos v=2u, daí dv=2,du. A integral passa a ser
integral dvraiz1-v^2,

Passo 4

e isso é uma integral padrão cuja primitiva é a função arco-seno:
integral dvraiz1-v^2 = arcsin(v) + C

Passo 5

Voltando pelas substituições: v=2u e u=ln x, a primitiva fica
arcsinl(2ln xr) + C

Resposta

arcsinl(2ln xr)+C

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