Calcule
, onde
e
é a fronteira com região limitada por
e
, com n exterior a
.
Passo 1
O exercício pede o fluxo de
através da superfície fechada
, que é o limite do volume entre o paraboloide
e o plano
. Vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.
Passo 2
O Teorema da Divergência diz que
onde
é o volume limitado por
e
é a divergência de
.
Passo 3
Calculamos a divergência:
Passo 4
Então o fluxo é simplesmente o volume de
, pois
. Em coordenadas cilíndricas:
Integramos em
:
Agora em
e
: