Calcule integralegral duplaS F cdot n d S, onde F=-x i+2 z k e S é a fronteira com região limitada por z=1 e z=x^2+y^2, com n exterior a S.

Passo 1

O exercício pede o fluxo de F=-x,i+2z,k através da superfície fechada S, que é o limite do volume entre o paraboloide z=x^2+y^2 e o plano z=1. Vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.

Passo 2

O Teorema da Divergência diz que
integral duplaSFcdotn,dS =integral triplaV(nablacdotF),dV,
onde V é o volume limitado por S e nablacdotF é a divergência de F.

Passo 3

Calculamos a divergência:
nablacdotF =partial(-x)partial x+partial(0)partial y+partial(2z)partial z =-1+0+2=1

Passo 4

Então o fluxo é simplesmente o volume de V, pois nablacdotF=1. Em coordenadas cilíndricas:
integral triplaV1,dV =integral0^2piintegral0^1integralr^2^1r,dz,dr,dtheta
Integramos em z:
integralr^2^1r,dz=rl(1-r^2r)
Agora em r e theta:
integral0^2pi!dthetaintegral0^1r(1-r^2),dr =2piintegral0^1(r-r^3),dr =2pil[tfrac12-tfrac14r] =2picdottfrac14=tfracpi2

Resposta

pi2.

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