Consideremos um reservatório contendo
litros de uma solução salina com concentração de
de sal por litro começa a receber, a uma vazão constante de
litros por segundo, uma solução salina com concentração de
de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de
litros por segundo.
(a) Denotando por
a quantidade de sal, em
, presente no reservatório em um instante
, mostre que
satisfaz a equação diferencial
(b) Determine a solução geral do problema acima.
© No caso em que
, verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando
.
(a) Denotando por
© No caso em que
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório com volume inicial
(litros) contendo concentração inicial
(kg de sal por litro). Entra solução a vazão
(L/s) e concentração
(kg/L), e sai solução a vazão
(L/s), mantendo mistura homogênea. Vamos precisar de balanço de sal (entrada menos saída) e resolver a ODE de primeira ordem resultante usando fator integrante.
Passo 2
Para derivar a equação diferencial aplicamos balanço de sal: taxa de entrada de sal menos taxa de saída de sal. A taxa de entrada é
. A taxa de saída é a concentração na mistura
multiplicada pela vazão
. Assim
Para resolver quando
O fator integrante é
Multiplicando a ODE por
Impondo a condição inicial
, achamos
Passo 3
No caso especial
, o volume fica constante
e a ODE vira
que é linear de coeficiente constante. Resolvendo com fator integrante
Passo 4
A concentração no reservatório é
, que tende a
quando
.
Resposta
Para
:
$$x(t)=c\bigl[V+(a_{+}-a_{-})t\bigr]+(b-c),V{1+\frac{a_{-}}{a_{+}-a_{-}}}\bigl[V+(a_{+}-a_{-})t\bigr]{-\frac{a_{-}}{a_{+}-a_{-}}}.
$$
Para
:
$$x(t)=V,c+(b-c)V,e^{-\frac{a}{V}t},
que satisfaz