Consideremos um reservatório contendo V litros de uma solução salina com concentração de b kg de sal por litro começa a receber, a uma vazão constante de a+litros por segundo, uma solução salina com concentração de c kg de sal por litro de solução. O reservatório disponha de um mecanismo que mantém a solução homogênea à medida que o reservatório enche. Suponhamos que, concomitantemente com a injeção de água salgada no reservatório, começa a ser retirada do reservatório a solução formada, à razão constante de a-litros por segundo.
(a) Denotando por x(t) a quantidade de sal, em k g, presente no reservatório em um instante t, mostre que x satisfaz a equação diferencial
d xd t=a+ c-a- xV+(a+-a-) t
(b) Determine a solução geral do problema acima.
© No caso em que a+=a-, verifique o que acontece com a concentração de sal no reservatório quando t infty.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório com volume inicial V (litros) contendo concentração inicial b (kg de sal por litro). Entra solução a vazão a+ (L/s) e concentração c (kg/L), e sai solução a vazão a- (L/s), mantendo mistura homogênea. Vamos precisar de balanço de sal (entrada menos saída) e resolver a ODE de primeira ordem resultante usando fator integrante.

Passo 2

Para derivar a equação diferencial aplicamos balanço de sal: taxa de entrada de sal menos taxa de saída de sal. A taxa de entrada é a+,c. A taxa de saída é a concentração na mistura x(t)/l(V+(a+-a-)tr) multiplicada pela vazão a-. Assim
dxdt=a+c - a-xV+(a+-a-)t,
Para resolver quando a+neq a-, escrevemos a ODE na forma padrão
dxdt + P(t)x = Q(t), P(t)=a-V+(a+-a-)t, Q(t)=a+c
O fator integrante é
mu(t)=expl(integral P(t),dtr)=expl(integrala-V+(a+-a-)tdtr)=[V+(a+-a-)t]^a-a+-a-
Multiplicando a ODE por mu(t) e integrando, obtemos
x(t)=c,[V+(a+-a-)t]+C,[V+(a+-a-)t]^-a-a+-a-
Impondo a condição inicial x(0)=bV, achamos
C=(bV - cV),V^a-a+-a-=(b-c),V^1+a-a+-a-

Passo 3

No caso especial a+=a-=a, o volume fica constante V e a ODE vira
dxdt=al(c-xVr),
que é linear de coeficiente constante. Resolvendo com fator integrante e^(a/V)t, obtemos
x(t)=V,c+(b-c)V,e^-aVt

Passo 4

A concentração no reservatório é x(t)/V=c+(b-c)e^-aVt, que tende a c quando ttoinfty.

Resposta

Para a+neq a-:
$$x(t)=c\bigl[V+(a_{+}-a_{-})t\bigr]+(b-c),V{1+\frac{a_{-}}{a_{+}-a_{-}}}\bigl[V+(a_{+}-a_{-})t\bigr]{-\frac{a_{-}}{a_{+}-a_{-}}}.
$$
Para x(t)=cl[V+(a+-a-)tr]+(b-c),V^1+a-a+-a-l[V+(a+-a-)tr]^-a-a+-a- :
$$x(t)=V,c+(b-c)V,e^{-\frac{a}{V}t},
a+=a-=açã\frac{x(t)}{V}=c+(b-c)e^{-\frac{a}{V}t},$$
que satisfaz
x(t)=V,c+(b-c)V,e^-aVt,

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