Calcule
, em que:
e
é a parte do plano
no primeiro octante.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S f
ds, onde f(x,y,z)=xz e S é o pedaço do plano x+y+z=1 no primeiro octante (x,y,z≥0). Vamos usar parametrização por x e y, pois z fica dado por z=1−x−y.
ds, onde f(x,y,z)=xz e S é o pedaço do plano x+y+z=1 no primeiro octante (x,y,z≥0). Vamos usar parametrização por x e y, pois z fica dado por z=1−x−y.
Passo 2
Parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,1−x−y). A função vira f(r(x,y))=x·(1−x−y)=x−x^2−xy. O domínio D em (x,y) é o triângulo D={(x,y)∣x≥0,
y≥0,
x+y≤1}.
y≥0,
x+y≤1}.
Passo 3
Para calcular dS, usamos a fórmula dS=√(1+ (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2 )
dx
dy. Como z=1−x−y, temos ∂z/∂x=−1 e ∂z/∂y=−1, logo
dx
dy. Como z=1−x−y, temos ∂z/∂x=−1 e ∂z/∂y=−1, logo
Passo 4
Assim a integral torna-se
Passo 5
Calculando a integral interna, obtemos
Passo 6
Agora integramos em x de 0 a 1:
Passo 7
Multiplicando pelo fator √3, chega-se ao valor final da integral.