Calcule integralegral duplaS f d S, em que:
f(x, y, z)=x z e S é a parte do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície ∬_S f
ds, onde f(x,y,z)=xz e S é o pedaço do plano x+y+z=1 no primeiro octante (x,y,z≥0). Vamos usar parametrização por x e y, pois z fica dado por z=1−x−y.

Passo 2

Parametrizamos S por r(x,y)=(x,y,1−x−y). A função vira f(r(x,y))=x·(1−x−y)=x−x^2−xy. O domínio D em (x,y) é o triângulo D={(x,y)∣x≥0,
y≥0,
x+y≤1}.

Passo 3

Para calcular dS, usamos a fórmula dS=√(1+ (∂z/∂x)^2 + (∂z/∂y)^2 )
dx
dy. Como z=1−x−y, temos ∂z/∂x=−1 e ∂z/∂y=−1, logo
dS=raiz1+(-1)^2+(-1)^2,dx,dy=raiz3,dx,dy

Passo 4

Assim a integral torna-se
integral duplaS f,dS=integral duplaD (x - x^2 - x y),raiz3,dx,dy=raiz3integral0^1integral0^1-x(x - x^2 - x y),dy,dx

Passo 5

Calculando a integral interna, obtemos
integral0^1-x(x - x^2 - x y),dy=x2-x^2+x^32

Passo 6

Agora integramos em x de 0 a 1:
integral0^1l(x2-x^2+x^32r)dx=124

Passo 7

Multiplicando pelo fator √3, chega-se ao valor final da integral.

Resposta

dfracraiz324

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