Calcule integralegral duplaS f d S, em que:
f(x, y, z)=x^2 e S é a esfera x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície de f(x,y,z)=x² sobre a esfera unitária x²+y²+z²=1. O conteúdo envolvido é integral de superfície usando parametrização esférica e exploração de simetria.

Passo 2

Vamos parametrizar a esfera em coordenadas esféricas: x=sinφ·cosθ, y=sinφ·sinθ, z=cosφ, com φ∈[0,π], θ∈[0,2π]. O elemento de área é dado por
dS=R^2sinφ,dφ,dθ=sinφ,dφ,dθ

Passo 3

Substituindo na integral, temos o integrando x²=sin²φ·cos²θ. A integral dupla fica:
integral duplaS x^2,dS=integral0^2piintegral0^pi l(sin^2φ,cos^2θr),sinφ,dφ,dθ

Passo 4

Separe em produto de integrais:
integral0^2picos^2θ,dθtimes integral0^pisin^3φ,dφ

Passo 5

Calcule cada integral:
integral0^2picos^2θ,dθ=pi
integral0^pisin^3φ,dφ=43

Passo 6

Multiplicando os resultados, obtemos π·(4/3) = 4π/3.

Resposta

4pi3

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