Calcule
, em que:
e
é a esfera
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície de f(x,y,z)=x² sobre a esfera unitária x²+y²+z²=1. O conteúdo envolvido é integral de superfície usando parametrização esférica e exploração de simetria.
Passo 2
Vamos parametrizar a esfera em coordenadas esféricas: x=sinφ·cosθ, y=sinφ·sinθ, z=cosφ, com φ∈[0,π], θ∈[0,2π]. O elemento de área é dado por
Passo 3
Substituindo na integral, temos o integrando x²=sin²φ·cos²θ. A integral dupla fica:
Passo 4
Separe em produto de integrais:
Passo 5
Calcule cada integral:
Passo 6
Multiplicando os resultados, obtemos π·(4/3) = 4π/3.