Calcule a área das seguintes superfícies:
S é a parte da superfície dada por z=y^2-x^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção da superfície dada por z=y^2-x^2 dentro do cilindro x^2+y^2=1. O conteúdo é cálculo de área de superfície usando integrais duplas e derivadas parciais.

Passo 2

Para aplicar a fórmula da área de superfície de gráfico z=f(x,y), calculamos as derivadas parciais zx=-2x e zy=2y. Logo, o integrando é raiz1+(zx)^2+(zy)^2=raiz1+4x^2+4y^2.

Passo 3

Passamos para coordenadas polares: x=rcosθ, y=rsinθ, com rin[0,1] e θin[0,2π]. O elemento de área é dA=r,dr,dθ, logo a área fica
A=integral0^2πintegral0^1rraiz1+4r^2,dr,dθ

Passo 4

Para calcular o integral interno, fazemos a substituição u=1+4r^2, du=8r,dr. Assim,
integral0^1rraiz1+4r^2,dr=18integral1^5u^1/2,du=18cdot23l(5^3/2-1r)=112l(5raiz5-1r)

Passo 5

Finalmente, integrando em θ, obtemos
A=integral0^2π112l(5raiz5-1r),dθ=2πcdot112l(5raiz5-1r)=π6l(5raiz5-1r)

Resposta

pi6l(5raiz5-1r)

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