Calcule a área das seguintes superfícies:
é a parte da superfície dada por
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede a área da porção da superfície dada por
dentro do cilindro
. O conteúdo é cálculo de área de superfície usando integrais duplas e derivadas parciais.
Passo 2
Para aplicar a fórmula da área de superfície de gráfico
, calculamos as derivadas parciais
e
. Logo, o integrando é
.
Passo 3
Passamos para coordenadas polares:
,
, com
e
. O elemento de área é
, logo a área fica
Passo 4
Para calcular o integral interno, fazemos a substituição
,
. Assim,
Passo 5
Finalmente, integrando em
, obtemos