Calcule integralegral duplaS f d S, em que:
f(x, y, z)=y^2 z^2 e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2, em que 1 <= z <= 2.

Passo 1

A questão pede calcular a integral de superfície integral duplaS f,dS onde f(x,y,z)=y^2z^2 e S é a parte do cone z=raizx^2+y^2 entre z=1 e z=2. O conteúdo envolve integrais de superfície do tipo I para uma função escalar, e vamos precisar parametrizar S e calcular o elemento de área dS.

Passo 2

Para parametrizar a superfície, usamos coordenadas cilíndricas restringindo z=r. Definimos a parametrização
vec r(r,theta) = (rcostheta,;rsintheta,;r)
com 1<= r<= 2 e 0<= theta<= 2pi. Calculamos então os vetores tangentes e o módulo do produto vetorial para obter dS.

Passo 3

Calculamos os vetores parciais
vec rr = (costheta,;sintheta,;1), vec rtheta =(-rsintheta,;rcostheta,;0)
O módulo do produto vetorial é
|vec rrtimesvec rtheta| = raiz2,r,
logo dS = raiz2,r,dr,dtheta.

Passo 4

Expressamos a função f em termos dos parâmetros: y=rsintheta e z=r, então
f(vec r(r,theta)) = (rsintheta)^2cdot r^2 = r^4sin^2theta

Passo 5

Montamos a integral dupla:
integral duplaS f,dS = integral0^2piintegral1^2 r^4sin^2thetacdotraiz2,r,dr,dtheta = raiz2integral0^2pisin^2theta,dtheta integral1^2r^5,dr

Passo 6

Calculamos separadamente integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi e
integral1^2r^5,dr = l[r^66r]1^2 = 64-16 = 636 = 212
Multiplicando tudo, obtemos
raiz2cdotpicdot212 = 21raiz2,pi2

Resposta

21raiz2,pi2

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