Calcule onde é a parte da esfera com raio 3 centrada na origem com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla , onde é uma parte da esfera de raio 3, centrada na origem, e que satisfaz , e . Basicamente, vamos integrar a função sobre essa parte específica da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender um pouco sobre integrais duplas em superfícies curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar melhor a região . Sabemos que é parte de uma esfera com raio 3, então a equação da esfera é . As restrições , e nos dizem que estamos olhando para o oitante onde:
é negativo ou zero,
é positivo ou zero,
é positivo ou zero.
Isso significa que é a parte da esfera que está no primeiro octante ( e ) e onde é negativo.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
é a distância até a origem,
é o ângulo no plano a partir do eixo ,
é o ângulo a partir do eixo .
Para a esfera de raio 3, .
Passo 4
Vamos expressar e em coordenadas esféricas:
,
.
Como , temos:
,
.
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e que correspondem à região .
Como e , varia de a (ou de a ) para cobrir a metade negativa do eixo .
Como , varia de a (ou de a ) para ficar acima do plano .
A área diferencial na esfera em coordenadas esféricas é dada por: