Calcule integralegral duplaS x z d A onde S é a parte da esfera com raio 3 centrada na origem com x <= 0, y >= 0 e z >= 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral dupla integral duplaS x z , dA, onde S é uma parte da esfera de raio 3, centrada na origem, e que satisfaz x <= 0, y >= 0 e z >= 0. Basicamente, vamos integrar a função x z sobre essa parte específica da esfera. Para resolver isso, vamos precisar usar coordenadas esféricas e entender um pouco sobre integrais duplas em superfícies curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar melhor a região S. Sabemos que é parte de uma esfera com raio 3, então a equação da esfera é x^2 + y^2 + z^2 = 9. As restrições x <= 0, y >= 0 e z >= 0 nos dizem que estamos olhando para o oitante onde:
  • x é negativo ou zero,
  • y é positivo ou zero,
  • z é positivo ou zero.
Isso significa que S é a parte da esfera que está no primeiro octante ( y >= 0 e z >= 0) e onde x é negativo.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por (rho, theta, phi), onde:
  • rho é a distância até a origem,
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • phi é o ângulo a partir do eixo z.
Para a esfera de raio 3, rho = 3.

Passo 4

Vamos expressar x e z em coordenadas esféricas:
  • x = rho sinphi costheta,
  • z = rho cosphi.
Como rho = 3, temos:
  • x = 3 sinphi costheta,
  • z = 3 cosphi.

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites de integração para theta e phi que correspondem à região S.
  • Como y >= 0 e x <= 0, theta varia de pi2 a 3pi2 (ou de 90^circ a 270^circ) para cobrir a metade negativa do eixo x.
  • Como z >= 0, phi varia de 0 a pi2 (ou de 0^circ a 90^circ) para ficar acima do plano xy.
A área diferencial na esfera em coordenadas esféricas é dada por:
dA = rho^2 sinphi , dphi , dtheta
Com rho = 3, temos:
dA = 9 sinphi , dphi , dtheta

Passo 6

Agora, substituímos x e z na integral:
integral duplaS x z , dA = integraltheta=pi2^3pi2 integralphi=0^pi2 (3 sinphi costheta)(3 cosphi) cdot 9 sinphi , dphi , dtheta
Simplificando:
= 81 integralpi2^3pi2 costheta (integral0^pi2 sin^2phi cosphi , dphi ) dtheta
Vamos resolver a integral interna:
integral sin^2phi cosphi , dphi = sin^3phi3
Avaliada de 0 a pi2:
sin^3phi3 |0^pi2 = 13
Agora, a integral externa:
81 cdot 13 integralpi2^3pi2 costheta , dtheta = 27 sintheta |pi2^3pi2 = 27 (sin3pi2 - sinpi2) = 27 (-1 - 1) = -54

Resposta

O valor da integral dupla é -54.

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