Calcule os seguintes limites:

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto+inftyl(1-tfrac1xr)^x. O conteúdo envolvido é de limites exponenciais e vamos precisar do truque de aplicar logaritmo para transformar potência em produto, além do limite notável de ln(1+u)/u.

Passo 2

Definimos y=l(1-tfrac1xr)^x. Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, obtemos:
ln y = x,lnl(1-tfrac1xr)

Passo 3

Para avaliar limxtoinftyxln(1-1/x), usamos o limite notável
limuto0ln(1+u)u = 1
Aqui, basta tomar u=-1/x, que tende a zero quando xtoinfty. Assim
limxtoinftyxlnl(1-tfrac1xr) = limxtoinftyln(1-1/x)1/x = -1

Passo 4

Como ln yto -1, concluímos que yto e^-1. Portanto, o limite original é e^-1.

Resposta

e^-1

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