Considere as funções
e
, com
.
Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos destas duas funções.
Faça um esboço da região delimitada pelos gráficos destas duas funções.
Passo 1
O enunciado pede o esboço da região em ℝ² limitada pelos gráficos de g(x)=|x| e f(x)=x² no intervalo x∈[−1,1]. Vamos usar conhecimentos de interseção de curvas e comparação de valores para desenhar corretamente.
Passo 2
Para saber onde as duas curvas se encontram, resolvemos x²=|x|. Isso dá x²−|x|=0 ⇒ |x|(x−sgn(x))=0, cujas soluções em [−1,1] são x=0, x=1 e x=−1. Os pontos de interseção são (−1,1), (0,0) e (1,1).
Passo 3
Para decidir qual curva está “por cima” no intervalo, basta testar um valor, por exemplo x=0.5: f(0.5)=(0.5)²=0.25 e g(0.5)=|0.5|=0.5. Como 0.5>0.25, vemos que y=|x| fica acima de y=x² para x∈(−1,1), exceto nas interseções.
Passo 4
Agora faremos o esboço: desenhe os eixos x e y, marque x=−1,0,1 e y=0,1. Em seguida trace a parábola y=x² que passa por (−1,1),(0,0),(1,1) curvando para cima, e a “V” de y=|x| ligando esses mesmos pontos em linhas retas. Por fim, sombreie a região entre a parábola (embaixo) e o “V” (acima).
Resposta
A região é o “lente” simétrico em torno do eixo y, limitado abaixo pela parábola y=x² e acima pela reta dupla y=|x|, entre x=−1 e x=1. Ela tem vértices em (−1,1), (0,0) e (1,1) e deve ser sombreada entre essas curvas.