Use o teste da derivada segunda para encontrar os mínimos e máximos relativos da seguinte função:
f(x)=e^x^3-3 x

Passo 1

Resumo: Temos a função f(x)=e^x^3-3x. O conteúdo é o teste da derivada segunda para identificar extremos relativos. Vamos precisar calcular f'(x), achar os pontos críticos resolvendo f'(x)=0, depois obter f''(x) e analisar seu sinal nesses pontos.

Passo 2

Derivamos f(x)=e^g(x) com g(x)=x^3-3x. Como g'(x)=3x^2-3, temos
f'(x)=g'(x)e^g(x)=(3x^2-3)e^x^3-3x = 3(x^2-1)e^x^3-3x
Para pontos críticos, resolvemos f'(x)=0 o que implica x^2-1=0, logo x=pm1.

Passo 3

Para aplicar o teste da segunda derivada, precisamos de f''(x). Derivando f'(x)=3(x^2-1)e^x^3-3x por produto e cadeia, obtemos
f''(x)=e^x^3-3xl(6x+9(x^2-1)^2r)

Passo 4

Avaliando em x=1: como x^2-1=0, a parte entre parênteses fica 6cdot1 + 9cdot0=6>0 e e^1^3-3cdot1=e^-2>0, então f''(1)>0 indicando mínimo relativo. Em x=-1: 6(-1)+9cdot0=-6<0 e e^(-1)^3-3(-1)=e^2>0, logo f''(-1)<0 indicando máximo relativo.

Passo 5

Calculamos ainda os valores da função: f(1)=e^1-3=e^-2 e f(-1)=e^-1+3=e^2.

Resposta

Máximo relativo em x=-1 com f(-1)=e^2; mínimo relativo em x=1 com f(1)=e^-2.

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