Calcule
, sendo
a fronteira de
com normal exterior
, sendo
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
é a fronteira de uma bola
com raio 1, e
. Para resolver isso, vamos usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é a divergência de um campo vetorial e como aplicá-la para transformar a integral de superfície em uma integral de volume, que é mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de
, denotada por
, mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para nosso campo
, calculamos a divergência assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:
Passo 4
O próximo passo é aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que:
Isso significa que podemos substituir a integral de superfície pela integral de volume da divergência de
dentro de
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de volume:
Primeiro, calculamos
. Como
é a bola de raio 1, o volume dela é
. Então:
Agora, para
, percebemos que a função
é ímpar em relação ao plano
e
é simétrica em relação a esse plano. Portanto, essa integral será zero:
Passo 6
Somando as duas partes:
Resposta
Portanto, o valor da integral
é
.