Calcule integralegral duplasigma u cdot n d S, sendo sigma a fronteira de B com normal exterior n, sendo
B=(x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2+z^2 <= 1 e u=x i+y j+z^2 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície integral duplasigma u cdot n , dS, onde sigma é a fronteira de uma bola B com raio 1, e u = x i + y j + z^2 k. Para resolver isso, vamos usar Cálculo Vetorial, especificamente o Teorema da Divergência. Vamos precisar entender o que é a divergência de um campo vetorial e como aplicá-la para transformar a integral de superfície em uma integral de volume, que é mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de u, denotada por nabla cdot u, mede o quanto o campo está “saindo” ou “entrando” em um ponto. Para nosso campo u = x i + y j + z^2 k, calculamos a divergência assim:
nabla cdot u = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z^2)

Passo 3

Agora, vamos calcular cada derivada parcial:
partialpartial x(x) = 1
partialpartial y(y) = 1
partialpartial z(z^2) = 2z
Então, a divergência fica:
nabla cdot u = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z

Passo 4

O próximo passo é aplicar o Teorema da Divergência, que nos diz que:
integral duplasigma u cdot n , dS = integral triplaB nabla cdot u , dV
Isso significa que podemos substituir a integral de superfície pela integral de volume da divergência de u dentro de B.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de volume:
integral triplaB (2 + 2z) , dV = integral triplaB 2 , dV + integral triplaB 2z , dV
Primeiro, calculamos integral triplaB 2 , dV. Como B é a bola de raio 1, o volume dela é 43pi (1)^3 = 43pi. Então:
integral triplaB 2 , dV = 2 times 43pi = 83pi
Agora, para integral triplaB 2z , dV, percebemos que a função z é ímpar em relação ao plano z=0 e B é simétrica em relação a esse plano. Portanto, essa integral será zero:
integral triplaB 2z , dV = 0

Passo 6

Somando as duas partes:
integral triplaB (2 + 2z) , dV = 83pi + 0 = 83pi

Resposta

Portanto, o valor da integral integral duplasigma u cdot n , dS é 83pi.

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