TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Seja
contínua e
, determine a função
Seja
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função $ f $ que é contínua e que satisfaz $ f(0) = \frac{1}{2} $. A gente precisa descobrir qual é essa função $ f(x) $. A equação que a gente tem é:
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivadas para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral do lado esquerdo. A gente pode separar a integral em duas partes:
Isso fica mais fácil de trabalhar e entender.
Passo 3
Agora, vamos resolver cada integral separadamente. A integral de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é:
E a integral de $ f^{\prime}(x) $ em relação a $ x $ é simplesmente $ f(x) $ mais uma constante de integração:
Mas como estamos subtraindo essa integral, fica:
Passo 4
Vamos simplificar a equação. Podemos juntar as constantes de integração ($ C $ e $ K $) em uma única constante, já que elas são quaisquer constantes:
Aqui, $ C $ representa a constante resultante da combinação das constantes anteriores.
Passo 5
Nosso objetivo é encontrar $ f(x) $, então vamos isolar ela na equação:
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar $ f(x) $ positiva:
Podemos renomear a constante $ -C $ para simplesmente $ C $, já que ela é qualquer constante:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial que foi dada: $ f(0) = \frac{1}{2} $. Vamos substituir $ x = 0 $ na nossa expressão para $ f(x) $:
Simplificando:
Então:
Resposta
A função $ f(x) $ é: