TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Seja f contínua e f(0)=12, determine a função f(x)
integral(x^3-f^prime(x)) d x=e^x^3+K

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função $ f $ que é contínua e que satisfaz $ f(0) = \frac{1}{2} $. A gente precisa descobrir qual é essa função $ f(x) $. A equação que a gente tem é:
f
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo integral e derivadas para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral do lado esquerdo. A gente pode separar a integral em duas partes:
integral x^3 dx - integral f^prime(x) dx = e^x^3 + K
Isso fica mais fácil de trabalhar e entender.

Passo 3

Agora, vamos resolver cada integral separadamente. A integral de $ x^{3} $ em relação a $ x $ é:
x^3
E a integral de $ f^{\prime}(x) $ em relação a $ x $ é simplesmente $ f(x) $ mais uma constante de integração:
x
Mas como estamos subtraindo essa integral, fica:
integral x^3 dx = x^44 + C1

Passo 4

Vamos simplificar a equação. Podemos juntar as constantes de integração ($ C $ e $ K $) em uma única constante, já que elas são quaisquer constantes:
C
Aqui, $ C $ representa a constante resultante da combinação das constantes anteriores.

Passo 5

Nosso objetivo é encontrar $ f(x) $, então vamos isolar ela na equação:
f(x)
Multiplicando ambos os lados por -1 para deixar $ f(x) $ positiva:
-f(x) = e^x^3 - x^44 + C
Podemos renomear a constante $ -C $ para simplesmente $ C $, já que ela é qualquer constante:
f(x)

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial que foi dada: $ f(0) = \frac{1}{2} $. Vamos substituir $ x = 0 $ na nossa expressão para $ f(x) $:
f(0) = 12
Simplificando:
x = 0
Então:
f(x)

Resposta

A função $ f(x) $ é:
f(x)

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