TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Ache a derivada da função dada por
Ache a derivada da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de uma função definida por uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função que está definida por uma integral. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida como uma integral com limite superior variável, sua derivada é a função dentro da integral avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite.
No nosso caso, a função é:
Aqui, o limite superior da integral é
, que depende de
. O limite inferior é uma constante, 1.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
em relação a
é:
Aqui,
é a função dentro da integral avaliada em
, e
é a derivada do limite superior.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
. Sabemos que:
Então, substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Sabemos que:
Portanto:
Passo 6
Substituindo essa simplificação na expressão de
:
Podemos reescrever
como
.
Passo 7
Portanto, a expressão final para a derivada é:
Podemos combinar os termos de seno:
Resposta
A derivada da função
é