TODAS AS OUGSTÓES DEVEM SER JUSTITICADAS.
Ache a derivada da função dada por
g(x)=integral1^cos x(raiz[3](1-t^2)) d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função
g(x) = integral1^cos x raiz[3]1 - t^2 , dt
Estamos trabalhando com Cálculo Diferencial, especificamente com a derivação de uma função definida por uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa derivar uma função que está definida por uma integral. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida como uma integral com limite superior variável, sua derivada é a função dentro da integral avaliada nesse limite multiplicada pela derivada desse limite.
No nosso caso, a função é:
g(x) = integral1^cos x raiz[3]1 - t^2 , dt
Aqui, o limite superior da integral é cos x, que depende de x. O limite inferior é uma constante, 1.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de g(x) em relação a x é:
g'(x) = raiz[3]1 - (cos x)^2 cdot ddx (cos x)
Aqui, raiz[3]1 - (cos x)^2 é a função dentro da integral avaliada em t = cos x, e ddx (cos x) é a derivada do limite superior.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de cos x. Sabemos que:
ddx (cos x) = -sin x
Então, substituindo de volta na expressão de g'(x):
g'(x) = raiz[3]1 - cos^2 x cdot (-sin x)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Sabemos que:
1 - cos^2 x = sin^2 x
Portanto:
raiz[3]1 - cos^2 x = raiz[3]sin^2 x

Passo 6

Substituindo essa simplificação na expressão de g'(x):
g'(x) = raiz[3]sin^2 x cdot (-sin x)
Podemos reescrever raiz[3]sin^2 x como (sin^2 x)^1/3 = sin^2/3 x.

Passo 7

Portanto, a expressão final para a derivada é:
g'(x) = -sin^2/3 x cdot sin x
Podemos combinar os termos de seno:
g'(x) = -sin^1 + 2/3 x = -sin^5/3 x

Resposta

A derivada da função g(x) é
g'(x) = -sin^5/3 x

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