Calcule integralegral triplaB x d x d y d z, onde B é o conjunto x^24+y^23+z^2 <= 1, x >= 0.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaB x,dx,dy,dz, onde B é a metade do elipsoide definido por x^24+y^23+z^2<=1 com x>=0. O assunto é integração em coordenadas adequadas e vamos precisar usar uma transformação linear para passar o elipsoide a uma bola unitária e depois coordenadas esféricas.

Passo 2

Para simplificar a região, fazemos a mudança de variáveis x=2u, y=raiz3,v, z=w. Assim a condição x^24+y^23+z^2<=1 vira u^2+v^2+w^2<=1, e x>=0 fica u>=0. O jacobiano dessa transformação é J=2cdotraiz3cdot1=2raiz3.
Na nova variável, a integral fica
integral triplaB x,dx,dy,dz = integral triplau^2+v^2+w^2<=1,,u>=0 (2u),(2raiz3),du,dv,dw = 4raiz3;integral triplau^2+v^2+w^2<=1,,u>=0 u,du,dv,dw

Passo 3

Agora passamos a coordenadas esféricas em (u,v,w):
u = rcosphi, v=rsinphicostheta, w=rsinphisintheta,
com rin[0,1], phiin[0,pi2] (porque u>=0) e thetain[0,2pi]. O elemento de volume é r^2sinphi,dr,dphi,dtheta.
Substituindo na integral:
4raiz3integralr=0^1integralphi=0^pi/2integraltheta=0^2pi (rcosphi),r^2sinphi;dtheta,dphi,dr

Passo 4

Separamos em produtos de integrais:
4raiz3 gl(integral0^1r^3drgr)gl(integral0^pi/2sinphicosphi,dphigr)gl(integral0^2pidthetagr)
Calculando cada parte: integral0^1r^3dr=1/4, integral0^pi/2sinphicosphi,dphi=1/2, integral0^2pidtheta=2pi.
Multiplicando:
4raiz3 times 14 times 12 times 2pi = piraiz3

Resposta

piraiz3

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