Calcule
, onde
é o conjunto
.
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla
, onde
é a metade do elipsoide definido por
com
. O assunto é integração em coordenadas adequadas e vamos precisar usar uma transformação linear para passar o elipsoide a uma bola unitária e depois coordenadas esféricas.
Passo 2
Para simplificar a região, fazemos a mudança de variáveis
,
,
. Assim a condição
vira
, e
fica
. O jacobiano dessa transformação é
.
Na nova variável, a integral fica
Na nova variável, a integral fica
Passo 3
Agora passamos a coordenadas esféricas em
:
com
,
(porque
) e
. O elemento de volume é
.
Substituindo na integral:
Substituindo na integral:
Passo 4
Separamos em produtos de integrais:
Calculando cada parte:
,
,
.
Multiplicando:
Multiplicando: