Use a regra de L’Hôpital para calcular os seguintes limites:
lim x pi4(1-tan (x)) sec (2 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular limxtopi/4(1-tan(x))sec(2x) usando a regra de L’Hôpital, tema de limites indeterminados do tipo 0cdotinfty. Vamos precisar reescrever o produto como quociente e usar derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Ao tentar substituir x=pi/4 diretamente obtemos 1-tan(pi/4)=0 e sec(2cdotpi/4)=sec(pi/2)=infty, forma 0cdotinfty. Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos como quociente:
(1-tan(x))sec(2x)=1-tan(x)cos(2x)

Passo 3

Substituindo agora x=pi/4 vemos que o numerador e o denominador vão a zero, forma 0/0. Então aplicamos L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
Numerador: ddx(1-tan(x))=-sec^2(x).
Denominador: ddxcos(2x)=-2sin(2x).
Logo o limite vira
limxtopi/4-sec^2(x)-2sin(2x)=limxtopi/4sec^2(x)2sin(2x)

Passo 4

Agora simplificamos avaliando a expressão resultante: usam-se valores trigonométricos em x=pi/4. Sabemos que sec(pi/4)=raiz2 então sec^2(pi/4)=2, e sin(2cdotpi/4)=sin(pi/2)=1. Assim o quociente fica 2/(2cdot1)=1.

Resposta

1

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