Neste exercício, queremos calcular o integral , onde é o conjunto de pontos que satisfazem
O conteúdo principal envolve reconhecer que essa desigualdade define um elipsoide, completar quadrados e usar uma mudança de variáveis para uma esfera unitária. Precisaremos também do jacobiano da transformação e do volume da esfera em .
Passo 2
Primeiro, completamos o quadrado em : note que . Substituindo na desigualdade, obtemos
Isso mostra que é um elipsoide centrado em com semi-eixos de comprimentos , e ao longo dos eixos , e , respectivamente.
Passo 3
Fazemos a mudança de variáveis que transforma o elipsoide em esfera unitária:
Nessas variáveis, a região vira . O jacobiano da transformação é
e também z = w + 1. Logo dx,dy,dz = 6,du,dv,dw.
Passo 4
Assim, o integral vira
integral triplau^2+v^2+w^2 <= 1 (w+1) cdot 6 ,du,dv,dw = 6 (integral tripla w ,dV + integral tripla 1 ,dV)
A parte integral tripla w,dV anula porque w é função ímpar na esfera simétrica. Sobra
6 integral tripla dV = 6 times Vol(esfera unitária) = 6 times 4pi3 = 8pi á