Calcule integralegral triplaB z d x d y d z, onde B é o conjunto de todos (x, y, z) tal que (x-1)^24+(y-1)^29+z^2 <= 2 z.

Passo 1

Neste exercício, queremos calcular o integral integral triplaB z , dx, dy, dz, onde B é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem
(x-1)^24 + (y-1)^29 + z^2 <= 2z
O conteúdo principal envolve reconhecer que essa desigualdade define um elipsoide, completar quadrados e usar uma mudança de variáveis para uma esfera unitária. Precisaremos também do jacobiano da transformação e do volume da esfera em R^3.

Passo 2

Primeiro, completamos o quadrado em z: note que z^2 - 2z = (z-1)^2 - 1. Substituindo na desigualdade, obtemos
(x-1)^24 + (y-1)^29 + (z-1)^2 <= 1
Isso mostra que B é um elipsoide centrado em (1,1,1) com semi-eixos de comprimentos 2, 3 e 1 ao longo dos eixos x, y e z, respectivamente.

Passo 3

Fazemos a mudança de variáveis que transforma o elipsoide em esfera unitária:
u = x-12, v = y-13, w = z-1
Nessas variáveis, a região vira u^2 + v^2 + w^2 <= 1. O jacobiano da transformação é
|partial(x,y,z)partial(u,v,w)| = 2 cdot 3 cdot 1 = 6,
e também z = w + 1. Logo dx,dy,dz = 6,du,dv,dw.

Passo 4

Assim, o integral vira
integral triplau^2+v^2+w^2 <= 1 (w+1) cdot 6 ,du,dv,dw = 6 (integral tripla w ,dV + integral tripla 1 ,dV)
A parte integral tripla w,dV anula porque w é função ímpar na esfera simétrica. Sobra
6 integral tripla dV = 6 times Vol(esfera unitária) = 6 times 4pi3 = 8pi á

Resposta

8\pi

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