Calcule
, onde
é limitado por
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o integral triplo de $ x $ no conjunto $ \omega $, que é a parte superior da esfera definida por $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $, ou seja, onde $ y \geq 0 $. Esse problema está na área de Cálculo Multivariável, mais especificamente envolvendo integrais triplas e coordenadas esféricas. Vamos precisar usar simetria e talvez mudar para coordenadas esféricas pra facilitar a conta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ \omega $. A equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9 $ representa uma esfera de raio 3 centrada na origem. A condição $ y \geq 0 $ nos dá a metade dessa esfera onde o valor de $ y $ é positivo ou zero, ou seja, a “parte superior” da esfera.
Passo 3
Agora, para calcular o integral triplo $ \iiint_{\omega} x , dV $, é mais fácil usar coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas $ (x, y, z) $ são expressas como:
E o elemento de volume $ dV $ é dado por:
Passo 4
Vamos substituir $ x $ e $ dV $ na integral:
Simplificando:
Passo 5
Observando essa integral, perceba que a função $ \cos\theta $ é ímpar em relação a $ \theta $. Quando integramos de $ 0 $ a $ 2\pi $, os valores positivos e negativos de $ \cos\theta $ se cancelam. Portanto, independentemente do restante da expressão, o integral total será zero.
Resposta
O valor do integral triplo é igual a zero.