Determine as constantes e de modo que: seja contínua em x=0 e x=2.
Passo 1
O enunciado nos dá uma função por partes
f(x)= e^2x-1, & x<0 2x+a, & 0<= x<=2 x^2-bx-2, & x>2
e pede que ela seja contínua em x=0 e x=2. O conteúdo envolve definição de continuidade e cálculo de limite lateral em ponto de descontinuidade potencial.
Passo 2
Para garantir continuidade em x=0, calculamos o limite pela esquerda e pela direita e igualamos:
Pela esquerda, quando x→0⁻ temos
limxto0^-f(x)=limxto0^-(e^2x-1)=e^0-1=0
Pela direita e no próprio ponto, para x=0 usamos f(x)=2x+a, logo
f(0)=2cdot0+a=a
Igualando pra ter continuidade: a=0.
Passo 3
Agora, para continuidade em x=2, fazemos o mesmo jogo.
Pela esquerda, em x=2⁻ vale f(x)=2x+a. Como já vimos que a=0:
limxto2^-f(x)=2cdot2+0=4
Pela direita, temos f(x)=(x^2-b)/(x-2). Para esse limite existir e ser finito, o numerador deve se anular em x=2, ou seja 2^2-b=0, dando b=4. Assim o termo (x-2) simplifica:
x^2-4x-2=(x-2)(x+2)x-2=x+2
e em x→2⁺ o valor é 4, combinando com o lado esquerdo.