Seja f(x, y)=e^(x+5 y). Avalie o erro (para x=0,01 e y=0,01) que se comete ao aproximar f pelo seu polinômio de Taylor de ordem 1 em torno de (0,0). Calcule novamente o erro, agora usando o polinômio de ordem 2.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função f(x,y)=e^{(x+5y)} pelos polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em torno de (0,0) e, em seguida, calcular o erro dessas aproximações no ponto (0,01,0,01). Isso envolve usar derivadas parciais, construir os polinômios de Taylor multivariável e comparar com o valor exato de f.

Passo 2

Primeiro, para o polinômio de Taylor de ordem 1: calculamos as derivadas em (0,0): f(0,0)=1, f_x(0,0)=1, f_y(0,0)=5. Logo
P1(x,y)=1 + x + 5y

Passo 3

Avalia em (0,01,0,01):
P1(0,01,0,01)=1 + 0,01 + 5cdot0,01 = 1,06

Passo 4

O valor exato é
f(0,01,0,01)=e^0,01+5cdot0,01=e^0,06approx1,06183655

Passo 5

O erro é
|f - P1|approx|1,06183655 - 1,06|=0,00183655

Passo 6

Agora, para o polinômio de Taylor de ordem 2: calculamos as segundas derivadas em (0,0): f_{xx}=1, f_{xy}=5, f_{yy}=25. Assim
P2(x,y)=1 + x + 5y + 12l(x^2 + 2cdot5xy + 25y^2r)

Passo 7

Avalia em (0,01,0,01):
P2(0,01,0,01)=1,06 + 12(0,0001 + 0,001 + 0,0025)=1,06 + 0,0018=1,0618

Passo 8

O erro de segunda ordem é
|f - P2|approx|1,06183655 - 1,0618|=0,00003655

Resposta

Erro da aproximação de ordem 1 ≈ 0,00183655; erro da aproximação de ordem 2 ≈ 0,00003655

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