Seja
. Avalie o erro (para
e
) que se comete ao aproximar
pelo seu polinômio de Taylor de ordem 1 em torno de
. Calcule novamente o erro, agora usando o polinômio de ordem 2.
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a função f(x,y)=e^{(x+5y)} pelos polinômios de Taylor de ordem 1 e 2 em torno de (0,0) e, em seguida, calcular o erro dessas aproximações no ponto (0,01,0,01). Isso envolve usar derivadas parciais, construir os polinômios de Taylor multivariável e comparar com o valor exato de f.
Passo 2
Primeiro, para o polinômio de Taylor de ordem 1: calculamos as derivadas em (0,0): f(0,0)=1, f_x(0,0)=1, f_y(0,0)=5. Logo
Passo 3
Avalia em (0,01,0,01):
Passo 4
O valor exato é
Passo 5
O erro é
Passo 6
Agora, para o polinômio de Taylor de ordem 2: calculamos as segundas derivadas em (0,0): f_{xx}=1, f_{xy}=5, f_{yy}=25. Assim
Passo 7
Avalia em (0,01,0,01):
Passo 8
O erro de segunda ordem é
Resposta
Erro da aproximação de ordem 1 ≈ 0,00183655; erro da aproximação de ordem 2 ≈ 0,00003655