Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial F(x, y) e a curva gamma(t) são definidos da seguinte maneira:
gamma(t) = (12 + 12 cos t, 12 sin t), 0 <= t <= 2pi
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha para resolver isso. Precisaremos parametrizar a curva, calcular as derivadas necessárias e finalmente integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva gamma(t). Ela já está dada de forma paramétrica:
x(t) = 12 + 12 cos t
y(t) = 12 sin t
Onde t varia de 0 a 2pi, formando uma circunferência de raio 12 centrada em (12, 0).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t, que nos dão os componentes de dgamma:
dxdt = -12 sin t
dydt = 12 cos t
Essas derivadas representam as taxas de variação das coordenadas ao longo da curva.
Passo 4
Em seguida, substituímos x(t) e y(t) na função F(x, y) para obter F ao longo da curva gamma(t):
F(gamma(t)) = (cos((12 + 12 cos t)^2) + (12 + 12 cos t)^2 (12 sin t)^3 - 12 sin t2 - (12 + 12 cos t)) i
+ ((12 + 12 cos t)^3 (12 sin t)^2 + ln(2 - (12 + 12 cos t))) j
Isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar passo a passo.
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar F cdot dgamma. Isso significa multiplicar os componentes correspondentes e somar:
F cdot dgamma = Fi dxdt + Fj dydt
Substituindo:
F cdot dgamma = [cos((12 + 12 cos t)^2) + (12 + 12 cos t)^2 (12 sin t)^3 - 12 sin t2 - (12 + 12 cos t)] (-12 sin t)
+ [(12 + 12 cos t)^3 (12 sin t)^2 + ln(2 - (12 + 12 cos t))] (12 cos t)
Passo 6
Agora, simplificamos a expressão acima. Para facilitar os cálculos, vamos dividir os termos e calcular cada parte separadamente. No entanto, devido à complexidade dos termos envolvidos, pode ser necessário utilizar ferramentas de cálculo ou aproximações para encontrar o valor exato da integral.
Passo 7
Finalmente, integramos a expressão resultante de t = 0 a t = 2pi:
integral0^2pi F(gamma(t)) cdot dgamma , dt
Este cálculo pode ser realizado numericamente, já que a expressão é bastante complexa para integração analítica.
Resposta
Após realizar os cálculos necessários, o valor da integral de linha é: