Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
Então, temos um exercício onde precisamos verificar se a função $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $, dada por $ f(x) = x^{2} - 3 $, é bijetora. Se for bijetora, vamos encontrar a sua inversa $ f^{-1} $. Caso contrário, vamos ver como podemos restringir o domínio ou o contradomínio para que ela se torne bijetora e, então, encontrar a inversa.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, além de como encontrar a inversa de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser bijetora. Uma função é bijetora se ela for injetora (cada elemento do domínio corresponde a um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (todos os elementos do contradomínio são atingidos pela função).
Para verificar se $ f(x) = x^{2} - 3 $ é bijetora, vamos analisar sua injetividade e sobrejetividade.
Passo 3
Verificando a injetividade:
Uma função é injetora se, para todo $ x_1 $ e $ x_2 $ no domínio, $ f(x_1) = f(x_2) $ implica que $ x_1 = x_2 $.
Vamos supor que $ f(x_1) = f(x_2) $:
Simplificando:
Isso implica que $ x_1 = x_2 $ ou $ x_1 = -x_2 $.
Portanto, existem diferentes valores de $ x $ que resultam no mesmo valor de $ f(x) $, o que significa que a função não é injetora em todo o seu domínio $ \mathbb{R} $.
Passo 4
Verificando a sobrejetividade:
Uma função é sobrejetora se, para todo $ y $ no contradomínio, existe pelo menos um $ x $ no domínio tal que $ f(x) = y $.
Dada a função $ f(x) = x^{2} - 3 $, vamos resolver para $ x $:
Para que $ x $ seja um número real, $ y + 3 $ deve ser maior ou igual a zero:
Isso significa que os valores de $ y $ começam em $ -3 $ e vão até o infinito. Portanto, a função não cobre todo o $ \mathbb{R} $ no contradomínio, apenas $ y \geq -3 $. Então, $ f $ não é sobrejetora em $ \mathbb{R} $.
Passo 5
Como a função $ f(x) = x^{2} - 3 $ não é nem injetora nem sobrejetora no domínio completo $ \mathbb{R} $, ela não é bijetora. Mas podemos tentar restringir o domínio ou o contradomínio para torná-la bijetora.
Vamos restringir o domínio para $ \mathbb{R}_{\geq 0} $ (números reais não negativos). Com essa restrição, a função se torna injetora, já que cada $ x $ positivo tem um único $ f(x) $.
Também ajustando o contradomínio para $ y \geq -3 $, a função se torna sobrejetora, pois cobre todos os $ y $ a partir de $ -3 $.
Passo 6
Agora que restringimos o domínio para $ \mathbb{R}_{\geq 0} $ e o contradomínio para $ y \geq -3 $, a função $ f $ é bijetora. Vamos encontrar a inversa $ f^{-1} $.
Dada $ y = x^{2} - 3 $, resolvemos para $ x $:
Passamos a considerar apenas a raiz positiva porque restringimos $ x $ para $ \mathbb{R}_{\geq 0} $.
Resposta
A função $ f(x) = x^{2} - 3 $ não é bijetora em $ \mathbb{R} $. Porém, restringindo o domínio para $ x \geq 0 $ e o contradomínio para $ y \geq -3 $, a função se torna bijetora, e sua inversa é dada por: