Verifique se cada função
abaixo é bijetora. Em caso afirmativo, determine
. Caso
não seja bijetora, faça restrições no domínio e/ou contradomínio da função para que
se torne bijetora e determine a inversa de
nesta situação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificarmos se a função $ f(x) = x^{2} - x $ é bijetora, ou seja, se ela é injetora e sobrejetora. Se for bijetora, vamos encontrar a função inversa $ f^{-1} $. Caso contrário, vamos restringir o domínio e/ou o contradomínio para que ela se torne bijetora e então determinar a inversa. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras, além de saber como encontrar uma função inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser injetora e sobrejetora:
-
Função Injetora: Cada valor do domínio é mapeado para um valor único no contradomínio. Ou seja, se $ f(a) = f(b) $, então necessariamente $ a = b $.
-
Função Sobrejetora: Todo elemento do contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Uma Função Bijetora é aquela que é simultaneamente injetora e sobrejetora.
Passo 3
Vamos analisar a função $ f(x) = x^{2} - x $. Essa é uma função quadrática, e sabemos que o gráfico de uma função quadrática é uma parábola. O coeficiente de $ x^{2} $ é positivo, o que significa que a parábola está voltada para cima. Portanto, a função tem um ponto mínimo.
Passo 4
Vamos encontrar o ponto mínimo da função, que ocorre no vértice da parábola. A fórmula para o x do vértice de uma função quadrática $ ax^{2} + bx + c $ é $ x = -\frac{b}{2a} $.
No nosso caso, $ a = 1 $ e $ b = -1 $, então:
Agora, vamos encontrar o valor de $ f $ nesse ponto:
Então, o vértice está em $ \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right) $.
Passo 5
Para verificar se a função é injetora, precisamos ver se ela é estritamente crescente ou decrescente em todo o seu domínio. Observando a parábola, vemos que ela é decrescente para $ x < \frac{1}{2} $ e crescente para $ x > \frac{1}{2} $. Isso significa que a função não é injetora em todo o domínio $ \mathbb{R} $, pois para alguns valores diferentes de $ x $ teremos o mesmo $ f(x) $.
Passo 6
Como a função não é injetora em todo o domínio, ela também não é bijetora nesse caso. Mas podemos restringir o domínio para tornar a função injetora. Podemos escolher uma das duas partes da parábola:
- Domínio restrito a $ x \geq \frac{1}{2} $: Aqui, a função é estritamente crescente.
- Domínio restrito a $ x \leq \frac{1}{2} $: Aqui, a função é estritamente decrescente.
Vamos optar por restringir o domínio a $ x \geq \frac{1}{2} $ para facilitar os cálculos.
Passo 7
Agora que restringimos o domínio a $ x \geq \frac{1}{2} $, a função $ f $ é injetora e, como todo valor acima de $ -\frac{1}{4} $ no contradomínio é atingido, ela também é sobrejetora nesse intervalo. Portanto, a função restrita é bijetora.
Passo 8
Vamos encontrar a função inversa $ f^{-1} $. Para isso, seguimos os passos:
- Substituímos $ f(x) $ por $ y $:
- Trocamos $ x $ e $ y $:
- Resolvemos para $ y $ em termos de $ x $:
- Essa é uma equação quadrática em $ y $. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Como restringimos o domínio para $ x \geq \frac{1}{2} $ e a função é crescente, escolhemos o sinal positivo:
Resposta
A função $ f(x) = x^{2} - x $ não é bijetora em todo o domínio $ \mathbb{R} $. Porém, restringindo o domínio a $ x \geq \frac{1}{2} $, ela se torna bijetora, e a função inversa é: