Calcule integralgamma F cdot d r onde
l F(x, y, z)=1x^2+y+2 z^2+1(2 x, 1,4 z) gamma(t)=(t, t^3, t^2), t in[0,2]
Escolha uma opção:
l ln (45) ln (8) 3 pi
-3 pi
14 ln (36)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha integralgamma F cdot d r onde o campo vetorial F e o caminho gamma(t) são dados. A matéria aqui envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho, substituir na função F, calcular o produto escalar com a derivada do caminho e, por fim, integrar em relação a t.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar tudo direitinho. O caminho gamma(t) está dado por (t, t^3, t^2) para t in [0, 2]. Isso significa que x = t, y = t^3 e z = t^2.

Passo 3

Agora, vamos substituir esses valores na função F(x, y, z). Assim, temos:
F(gamma(t)) = 1x^2 + y + 2 z^2 + 1 cdot (2x, 1, 4z) = 1t^2 + t^3 + 2(t^2)^2 + 1 cdot (2t, 1, 4t^2)
Simplificando o denominador:
t^2 + t^3 + 2t^4 + 1
Então:
F(gamma(t)) = (2t, 1, 4t^2)1 + t^2 + t^3 + 2t^4

Passo 4

Em seguida, precisamos calcular a derivada de gamma(t) em relação a t, que é dr/dt:
dgammadt = ( dxdt, dydt, dzdt ) = (1, 3t^2, 2t)

Passo 5

Agora, fazemos o produto escalar F(gamma(t)) cdot drdt:
F cdot drdt = 2t cdot 1 + 1 cdot 3t^2 + 4t^2 cdot 2t1 + t^2 + t^3 + 2t^4 = 2t + 3t^2 + 8t^31 + t^2 + t^3 + 2t^4

Passo 6

Observamos que o numerador 2t + 3t^2 + 8t^3 é exatamente a derivada do denominador 1 + t^2 + t^3 + 2t^4. Isto é, se u = 1 + t^2 + t^3 + 2t^4, então du/dt = 2t + 3t^2 + 8t^3.

Passo 7

Então, a integral fica:
integral0^2 duu = ln|u| |0^2
Substituindo u = 1 + t^2 + t^3 + 2t^4:
ln(1 + 2^2 + 2^3 + 2 cdot 2^4) - ln(1) = ln(1 + 4 + 8 + 32) - 0 = ln(45)

Resposta

A integral é igual a ln(45).

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