A corrente i(t) em um circuito L C é governado pelo seguinte PVI
i^prime prime(t)+4 i(t)=g(t), i(0)=1, i^prime(0)=3
onde
g(t)= 3 sen t, & t<2 pi 0, & 2 pi <= t
Determine a corrente i(t) em função do tempo t.

Passo 1

A PVI governando a corrente é
i''(t) + 4,i(t) = g(t), i(0)=1,;i'(0)=3,
sendo
g(t)=3sin t,&t<2pi,0,&t>=2pi
O conteúdo aqui é equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes e forçamento em regime forçado por coeficientes indeterminados, e depois solução por partes casando condições em t=2pi.

Passo 2

Para 0<= t<2pi, a equação é
i''+4i=3sin t
A parte homogênea é ih=Ccos2t+Dsin2t. Usando coeficientes indeterminados, tomo a particular ip=Asin t+Bcos t. Substituindo,
(-A+4A)sin t+(-B+4B)cos t=3sin t
vem 3A=3implies A=1, 3B=0implies B=0. Logo
i(t)=Ccos2t+Dsin2t+sin t
Com i(0)=1 e i'(0)=3 obtém-se C=1 e D=1. Então
i1(t)=cos2t+sin2t+sin t,0<= t<2pi

Passo 3

Para t>=2pi, o forçamento zera e ficamos só com a parte homogênea
i''+4i=0, i(t)=A'cos2t+B'sin2t
Casamos i e i' em t=2pi usando os valores de i1(2pi)=1 e i1'(2pi)=3. Isso dá A'=1 e B'=3/2. Logo
i2(t)=cos2t+tfrac32sin2t, t>=2pi

Passo 4

Juntando as duas partes, a solução da corrente é dada por partes conforme o intervalo de t.

Resposta

ni(t)= cos(2t)+sin(2t)+sin t,&0<= t<2pi, cos(2t)+32sin(2t),&t>=2pi

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