Resolva o PVI dado
y^prime prime prime-3 y^prime prime+3 y^prime-y=upi(t) e^t-pi,
y(0)=0, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver uma EDO linear de 3º ordem com coeficientes constantes e forçamento via função de degrau deslocada: temos y‴−3y″+3y′−y= u_π(t) e^{t−π}, com y(0)=0, y′(0)=0, y″(0)=2. O conteúdo é solução de EDOs lineares, encontrando a parte homogênea (raiz tripla em r=1) e a particular por convolução com a resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea. A equação característica é r³−3r²+3r−1=(r−1)³=0, logo a solução homogênea é da forma
yh(t)=(C0+C1t+C2t^2)e^t
porque a multiplicidade 3 gera um polinômio de grau 2 multiplicando e^t.

Passo 3

Para obter a parte particular via convolução, precisamos da resposta ao impulso h(t) do operador L[y]=y‴−3y″+3y′−y. Sabendo que L[t2et/2]=δ(t), a resposta ao impulso é
h(t)=t^22e^t,
e o forçamento é f(t)=u_π(t)e^{t−π}. Pela fórmula de convolução
yp(t)=l(h*fr)(t)= integral0^t h(t-s)l(uπ(s)e^s-πr)ds =integralπ^t(t-s)^22e^t-se^s-πds
Fazendo a mudança de variável σ=t−s, chega-se a
yp(t)=uπ(t)e^t-π2integral0^t-πσ^2dσ =uπ(t)e^t-π(t-π)^36

Passo 4

Como para t<π o forçamento é zero, a solução nesse intervalo é só y_h e aplicamos as condições iniciais em t=0. Em t=0 temos y(0)=C_0=0, y′(0)=C_1=0 e y″(0)=2C_2=2 ⇒ C_2=1. Assim
y_h(t)=t2et.

Passo 5

Finalmente juntamos homogênea e particular. A solução geral fica
y(t)=t^2e^t+uπ(t)e^t-π(t-π)^36
Essa expressão satisfaz as condições iniciais e a equação com o degrau em t=π.

Resposta

y(t)=t2et+u_{π}(t)\frac{e{t-π}(t-π)3}{6}

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