Resolva o PVI dado
,
Passo 1
O enunciado pede pra resolver uma EDO linear de 3º ordem com coeficientes constantes e forçamento via função de degrau deslocada: temos y‴−3y″+3y′−y= u_π(t) e^{t−π}, com y(0)=0, y′(0)=0, y″(0)=2. O conteúdo é solução de EDOs lineares, encontrando a parte homogênea (raiz tripla em r=1) e a particular por convolução com a resposta ao impulso.
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea. A equação característica é r³−3r²+3r−1=(r−1)³=0, logo a solução homogênea é da forma
porque a multiplicidade 3 gera um polinômio de grau 2 multiplicando e^t.
Passo 3
Para obter a parte particular via convolução, precisamos da resposta ao impulso h(t) do operador L[y]=y‴−3y″+3y′−y. Sabendo que L[t2et/2]=δ(t), a resposta ao impulso é
e o forçamento é f(t)=u_π(t)e^{t−π}. Pela fórmula de convolução
Fazendo a mudança de variável σ=t−s, chega-se a
Passo 4
Como para t<π o forçamento é zero, a solução nesse intervalo é só y_h e aplicamos as condições iniciais em t=0. Em t=0 temos y(0)=C_0=0, y′(0)=C_1=0 e y″(0)=2C_2=2 ⇒ C_2=1. Assim
y_h(t)=t2et.
y_h(t)=t2et.
Passo 5
Finalmente juntamos homogênea e particular. A solução geral fica
Essa expressão satisfaz as condições iniciais e a equação com o degrau em t=π.
Resposta
y(t)=t2et+u_{π}(t)\frac{e{t-π}(t-π)3}{6}