Resolva o PVI dado
y^prime prime-4 y^prime+4 y=t^3 e^2 t, y(0)=2, y^prime(0)=4

Passo 1

O PVI é y''-4y'+4y=t^3e^2t com y(0)=2, y'(0)=4. O conteúdo é equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes e método dos coeficientes indeterminados. Vamos precisar: achar a solução homogênea, propor uma solução particular e aplicar as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y''-4y'+4y=0
A equação característica é
r^2-4r+4=0,
cuja raiz dupla é r=2. Então a solução complementar é
yc(t)=(C1+C2t)e^2t

Passo 3

Para a solução particular, propomos
yp(t)=e^2tp(t)
Substituindo na equação original, verifica-se que
$$y_p’’-4y_p’+4y_p=e^{2t}p’’(t).
yp''-4yp'+4yp=e^2tp''(t) õp’’(t)=t^3.
p''(t)=t^3 p(t)=\frac{t^5}{20}+At+B.$$
Os termos p(t)=t^520+At+B pertencem à solução homogênea, então escolhemos At+B e obtemos
A=B=0

Passo 4

A solução geral fica
$$y(t)=y_c(t)+y_p(t)=(C_1+C_2t)e{2t}+\frac{t5}{20}e^{2t}.
y(t)=yc(t)+yp(t)=(C1+C2t)e^2t+t^520e^2t y’(t)=e{2t}\Bigl(2\bigl(C_1+C_2t+\tfrac{t5}{20}\bigr)+C_2+\tfrac{t^4}{4}\Bigr).
$$

Passo 5

Impondo y(0)=2 vem C1=2. Impondo y'(0)=4 temos 2cdot2+C2=4, logo C2=0.

Resposta

y(t)=e^2tl(2+tfract^520r).

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