Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais
sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ \alpha $, $ \beta $ e $ \eta $ usando a Regra da Cadeia. Os dados que temos são:
Vamos precisar entender como cada variável ($ x $, $ y $, $ t $) depende de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \eta $ para aplicar a Regra da Cadeia corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ \alpha $, ou seja, $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que:
No nosso caso, $ y $ e $ t $ não dependem de $ \alpha $ diretamente, então $ \frac{\partial y}{\partial \alpha} = 0 $ e simplificamos para:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial u}{\partial t} $:
Primeiro, para $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Aqui usamos a derivada de $ \ln(x) $ que é $ \frac{1}{x} $ e a derivada de $ e^{f(x)} $ que é $ e^{f(x)} \cdot f’(x) $.
Agora, para $ \frac{\partial u}{\partial t} $:
Aqui usamos a derivada de $ e^{f(t)} $ que é $ e^{f(t)} \cdot f’(t) $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial x}{\partial \alpha} $ e $ \frac{\partial t}{\partial \alpha} $:
Passo 5
Substituindo tudo na expressão da derivada:
Podemos fatorar $ \ln(x) \tan(y) e{t{2xy}} $ para simplificar:
Simplificando mais:
Passo 6
Agora, vamos substituir $ x = \alpha^{2} \beta $, $ y = \beta^{2} \eta $, e $ t = \eta^{2} \alpha $ na expressão acima para obter a derivada em termos de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \eta $.
Após substituir e simplificar, chegamos à expressão final para $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $.
Resposta
A derivada parcial de $ u $ em relação a $ \alpha $ é dada por:
Você pode simplificar ainda mais essa expressão substituindo os valores e realizando as operações necessárias para obter um resultado mais compacto.