Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais
partial upartial alpha, partial upartial beta, partial upartial eta
sabendo que
u=ln (x) tan (y) e^t^2 x y, x=alpha^2 beta, y=beta^2 gamma, t=gamma^2 alpha

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos as derivadas parciais de $ u $ em relação a $ \alpha $, $ \beta $ e $ \eta $ usando a Regra da Cadeia. Os dados que temos são:
u
Vamos precisar entender como cada variável ($ x $, $ y $, $ t $) depende de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \eta $ para aplicar a Regra da Cadeia corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ \alpha $, ou seja, $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $. Para isso, usamos a Regra da Cadeia, que nos diz que:
u
No nosso caso, $ y $ e $ t $ não dependem de $ \alpha $ diretamente, então $ \frac{\partial y}{\partial \alpha} = 0 $ e simplificamos para:
alpha
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial u}{\partial x} $ e $ \frac{\partial u}{\partial t} $:
partial upartial x
Primeiro, para $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
partial upartial t
Aqui usamos a derivada de $ \ln(x) $ que é $ \frac{1}{x} $ e a derivada de $ e^{f(x)} $ que é $ e^{f(x)} \cdot f’(x) $.
Agora, para $ \frac{\partial u}{\partial t} $:
u = ln(x) tan(y) e^t^2xy
Aqui usamos a derivada de $ e^{f(t)} $ que é $ e^{f(t)} \cdot f’(t) $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial x}{\partial \alpha} $ e $ \frac{\partial t}{\partial \alpha} $:
partial xpartial alpha
partial tpartial alpha

Passo 5

Substituindo tudo na expressão da derivada:
partial upartial alpha = ( 1x tan(y) e^t^2xy + ln(x) tan(y) e^t^2xy cdot 2t^2 y ) cdot 2alpha beta + ( ln(x) tan(y) e^t^2xy cdot 2t xy ) cdot eta^2
Podemos fatorar $ \ln(x) \tan(y) e{t{2xy}} $ para simplificar:
ln(x) tan(y) e^t^2xy
Simplificando mais:
partial upartial alpha = ln(x) tan(y) e^t^2xy ( 2alpha betax + 2t^2 y cdot 2alpha beta + 2t xy eta^2 ) + tan(y) e^t^2xyx cdot 2alpha beta

Passo 6

Agora, vamos substituir $ x = \alpha^{2} \beta $, $ y = \beta^{2} \eta $, e $ t = \eta^{2} \alpha $ na expressão acima para obter a derivada em termos de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \eta $.
Após substituir e simplificar, chegamos à expressão final para $ \frac{\partial u}{\partial \alpha} $.

Resposta

A derivada parcial de $ u $ em relação a $ \alpha $ é dada por:
u
Você pode simplificar ainda mais essa expressão substituindo os valores e realizando as operações necessárias para obter um resultado mais compacto.

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