Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
f(x, y)=e^y(y^2-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
f(x, y) = e^y(y^2 - x^2)
Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente o método de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os pontos (x, y) onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a x:
fx = partial fpartial x = e^y cdot (-2x)
Derivada parcial em relação a y:
fy = partial fpartial y = e^y(y^2 - x^2) + e^y cdot 2y = e^y(y^2 - x^2 + 2y)

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
  1. $ f_x = -2x e^{y} = 0 $
  2. $ f_y = e{y}(y{2} - x^{2} + 2y) = 0 $
Como $ e^{y} $ nunca é zero, podemos simplificar as equações:
  1. $ -2x = 0 $ fx = -2x e^y = 0 $ x = 0 $
  2. $ y^{2} - x^{2} + 2y = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
fy = e^y(y^2 - x^2 + 2y) = 0
Então, $ y = 0 $ ou $ y = -2 $.

Passo 4

Portanto, temos dois pontos críticos:
  1. $ (0, 0) $
  2. $ (0, -2) $
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.

Passo 5

Para o teste da segunda derivada, precisamos calcular todas as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x(-2x e^y) = -2 e^y
fyy = partial^2 fpartial y^2 = partialpartial y[e^y(y^2 - x^2 + 2y)] = e^y(y^2 - x^2 + 2y) + e^y(2y + 2) = e^y(y^2 - x^2 + 4y + 2)
fxy = partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y(-2x e^y) = -2x e^y
Agora, calculamos o discriminante $ D $:
D

Passo 6

Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico.
Para o ponto D :
(0, 0)
fxx = -2 e^0 = -2
fyy = e^0(0 - 0 + 0 + 2) = 2
fxy = -2 cdot 0 cdot e^0 = 0
Como $ D < 0 $, o ponto D = (-2)(2) - (0)^2 = -4 é um ponto de sela.
Para o ponto D < 0 :
(0, 0)
(0, -2)
fxx = -2 e^-2
fyy = e^-2((-2)^2 - 0 + 4(-2) + 2) = e^-2(4 - 8 + 2) = e^-2(-2)
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = -2 e^{-2} < 0 $, o ponto fxy = -2 cdot 0 cdot e^-2 = 0 é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui:
  • Um ponto de sela em (0, 0).
  • Um ponto de máximo local em (0, -2).
  • Não há pontos de mínimo local.

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