Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais, além dos pontos de sela, da função
Para isso, vamos usar cálculo multivariável, especificamente o método de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos da função. Isso significa encontrar os pontos
onde as derivadas parciais de
em relação a
e
são iguais a zero.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
- $ f_x = -2x e^{y} = 0 $
- $ f_y = e{y}(y{2} - x^{2} + 2y) = 0 $
Como $ e^{y} $ nunca é zero, podemos simplificar as equações:
- $ -2x = 0 $
$ x = 0 $ - $ y^{2} - x^{2} + 2y = 0 $
Substituindo $ x = 0 $ na segunda equação:
Então, $ y = 0 $ ou $ y = -2 $.
Passo 4
Portanto, temos dois pontos críticos:
- $ (0, 0) $
- $ (0, -2) $
Agora, vamos classificar esses pontos usando o teste da segunda derivada.
Passo 5
Para o teste da segunda derivada, precisamos calcular todas as segundas derivadas:
Agora, calculamos o discriminante $ D $:
Passo 6
Vamos avaliar $ D $ em cada ponto crítico.
Para o ponto
:
Como $ D < 0 $, o ponto
é um ponto de sela.
Para o ponto
:
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} = -2 e^{-2} < 0 $, o ponto
é um ponto de máximo local.
Resposta
A função possui:
- Um ponto de sela em
. - Um ponto de máximo local em
. - Não há pontos de mínimo local.