Calcule integralgamma F cdot d r onde
F(x, y, z)=(2 x^2 y, z x,-x)
gamma(t)=(1+cos t, sin t,-2 sin ^2 t), t in[0,2 pi]
Escolha uma opção:
  • -pi
  • 3 pi
  • -2 pi
  • 2 pi
  • -3 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada integralgammavec Fcdot dvec r onde
vec F(x,y,z)=(2x^2y,;zx,;-x) e
gamma(t)=(1+cos t,;sin t,;-2sin^2 t), com tin[0,2pi]. Vamos usar a definição de integral de linha de um campo vetorial parametricamente:

Passo 2

Primeiro encontramos as componentes de vec F ao longo da curva:

Derivadas:

E então


Passo 3

Agora montamos o integrando:
cos t
Substituindo cada termo e simplificando (agrupando potências de I(t)=-2-6cos t-2cos^2 t+6cos^3 t+4cos^4 t+4sin tcos t+4sin tcos^2 t e funções mistas), obtemos:

Passo 4

Para integrar de 0 a 2pi, observamos que todas as parcelas \ncom cos t ímpar ou com sin t misturado dão zero no intervalo completo. Restam apenas os termos constantes e de cos^2 t e cos^4 t:
integral0^2piI(t),dt=-2cdot2pi-2integral0^2picos^2 t,dt+4integral0^2picos^4 t,dt
Sabendo que integral0^2picos^2 t,dt=pi e integral0^2picos^4 t,dt=tfrac3pi4, vem
-4pi-2pi+4cdottfrac3pi4=-6pi+3pi=-3pi

Passo 5

Logo, o valor da integral de linha é dado por

Resposta

-3pi

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