Suponha que
tenha derivada
. Então
A função
é crescente no(s) intervalo(s):
A função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos dá a derivada de uma função $ f(x) $, que é $ f^{\prime}(x) = (x - 4)^2 e^{-x / 2} $. A pergunta é: Em quais intervalos a função $ f $ está crescendo?
Conteúdo envolvido: Derivadas e análise de funções crescentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como a derivada de uma função nos indica se ela está crescendo ou não.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que uma função está crescente em um intervalo se a sua derivada nesse intervalo for positiva. Ou seja, se $ f^{\prime}(x) > 0 $, então $ f(x) $ está aumentando nesse intervalo.
Passo 3
Vamos analisar a derivada dada:
Vamos olhar para cada parte dessa expressão:
-
: Isso é um quadrado, e sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Assim, para todos os valores de $ x $. -
: A função exponencial $ e^u $ é sempre positiva, não importa o valor de $ u $. Então, $ e^{-x / 2} > 0 $ para todo $ x $.
Passo 4
Como ambas as partes da derivada são não negativas e sempre positivas respectivamente, o produto delas será:
Isso significa que a derivada $ f^{\prime}(x) $ é sempre não negativa para todo $ x $.
Passo 5
Além disso, a derivada será igual a zero quando
, ou seja, quando $ x = 4 $. Nesse ponto específico, a derivada é zero, mas em todos os outros pontos, $ f^{\prime}(x) > 0 $.
Passo 6
Então, concluímos que:
- Para todo $ x $ diferente de 4, $ f^{\prime}(x) > 0 $, o que indica que $ f(x) $ está crescente nesses intervalos.
- No ponto $ x = 4 $, a derivada é zero, mas isso não muda o fato de que a função está aumentando nos arredores desse ponto.
Passo 7
Portanto, a função $ f(x) $ é crescente em todos os números reais, ou seja, em todo o intervalo $ (-\infty, +\infty) $.
Resposta
A função $ f(x) $ é crescente em todo o intervalo $ (-\infty, +\infty) $.