Suponha que f(x) tenha derivada f^prime(x)=(x-4)^2 e^-x / 2. Então
A função f é crescente no(s) intervalo(s):

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá a derivada de uma função $ f(x) $, que é $ f^{\prime}(x) = (x - 4)^2 e^{-x / 2} $. A pergunta é: Em quais intervalos a função $ f $ está crescendo?
Conteúdo envolvido: Derivadas e análise de funções crescentes. Para resolver isso, vamos precisar entender como a derivada de uma função nos indica se ela está crescendo ou não.

Passo 2

Primeiro, lembre-se que uma função está crescente em um intervalo se a sua derivada nesse intervalo for positiva. Ou seja, se $ f^{\prime}(x) > 0 $, então $ f(x) $ está aumentando nesse intervalo.

Passo 3

Vamos analisar a derivada dada:
f^prime(x) = (x - 4)^2 e^-x / 2
Vamos olhar para cada parte dessa expressão:
  1. (x - 4)^2: Isso é um quadrado, e sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não negativo. Assim, (x - 4)^2 >= 0 para todos os valores de $ x $.
  2. x : A função exponencial $ e^u $ é sempre positiva, não importa o valor de $ u $. Então, $ e^{-x / 2} > 0 $ para todo $ x $.

Passo 4

Como ambas as partes da derivada são não negativas e sempre positivas respectivamente, o produto delas será:
f^prime(x) = (x - 4)^2 e^-x / 2 >= 0
Isso significa que a derivada $ f^{\prime}(x) $ é sempre não negativa para todo $ x $.

Passo 5

Além disso, a derivada será igual a zero quando (x - 4)^2 = 0, ou seja, quando $ x = 4 $. Nesse ponto específico, a derivada é zero, mas em todos os outros pontos, $ f^{\prime}(x) > 0 $.

Passo 6

Então, concluímos que:
  • Para todo $ x $ diferente de 4, $ f^{\prime}(x) > 0 $, o que indica que $ f(x) $ está crescente nesses intervalos.
  • No ponto $ x = 4 $, a derivada é zero, mas isso não muda o fato de que a função está aumentando nos arredores desse ponto.

Passo 7

Portanto, a função $ f(x) $ é crescente em todos os números reais, ou seja, em todo o intervalo $ (-\infty, +\infty) $.

Resposta

A função $ f(x) $ é crescente em todo o intervalo $ (-\infty, +\infty) $.

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