Suponha que f(x) tenha derivada f^prime(x)=(x-4)^2 e^-x / 2. Então
A função f é côncava para cima no(s) intervalo(s)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a derivada de uma função f(x), que é f^prime(x)=(x-4)^2 e^-x / 2. O assunto aqui é concavidade de funções, que está relacionado à segunda derivada. Para descobrir onde a função é côncava para cima, vamos precisar encontrar a segunda derivada f''(x) e analisar onde ela é positiva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada f''(x). Sabemos que f'(x)=(x-4)^2 e^-x / 2. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
f''(x) = ddx[(x-4)^2] cdot e^-x/2 + (x-4)^2 cdot ddx[e^-x/2]
A derivada de (x-4)^2 é 2(x-4) e a derivada de e^-x/2 é - 12 e^-x/2.

Passo 4

Substituindo as derivadas:
f''(x) = 2(x-4) e^-x/2 + (x-4)^2 (-12 e^-x/2)
Podemos fatorar e^-x/2:
f''(x) = e^-x/2 [2(x-4) - 12(x-4)^2]

Passo 5

Agora, para determinar onde f''(x) > 0, observamos que e^-x/2 é sempre positivo para qualquer valor de x. Portanto, precisamos analisar a expressão dentro dos colchetes:
2(x-4) - 12(x-4)^2 > 0
Vamos chamar u = x - 4, então:
2u - 12u^2 > 0
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
4u - u^2 > 0 Rightarrow u(4 - u) > 0

Passo 6

A inequação u(4 - u) > 0 é satisfeita quando ambos os fatores são positivos ou ambos negativos. Mas, como u = x - 4, vamos analisar:
  1. u > 0 e 4 - u > 0:
    x - 4 > 0 Rightarrow x > 4
    4 - (x - 4) > 0 Rightarrow 8 - x > 0 Rightarrow x < 8
    Então, 4 < x < 8.
  2. u < 0 e 4 - u < 0:
    x - 4 < 0 Rightarrow x < 4
    4 - (x - 4) < 0 Rightarrow 8 - x < 0 Rightarrow x > 8
    Essa situação não ocorre simultaneamente, então só consideramos o primeiro caso.

Resposta

A função f é côncava para cima no intervalo 4 < x < 8.

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