Suponha que
tenha derivada
. Então
A função f é côncava para cima no(s) intervalo(s)
A função f é côncava para cima no(s) intervalo(s)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a derivada de uma função
, que é
. O assunto aqui é concavidade de funções, que está relacionado à segunda derivada. Para descobrir onde a função é côncava para cima, vamos precisar encontrar a segunda derivada
e analisar onde ela é positiva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada
. Sabemos que
. Para derivar isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de dois fatores é a derivada do primeiro multiplicado pelo segundo mais o primeiro multiplicado pela derivada do segundo.
Passo 3
Aplicando a regra do produto:
A derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 4
Substituindo as derivadas:
Podemos fatorar
:
Passo 5
Agora, para determinar onde
, observamos que
é sempre positivo para qualquer valor de
. Portanto, precisamos analisar a expressão dentro dos colchetes:
Vamos chamar
, então:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Passo 6
A inequação
é satisfeita quando ambos os fatores são positivos ou ambos negativos. Mas, como
, vamos analisar:
-
e : Então,. -
e : Essa situação não ocorre simultaneamente, então só consideramos o primeiro caso.
Resposta
A função
é côncava para cima no intervalo
.