Seja
. Identifique a localização:
dos pontos de inflexão do gráfico de
.
dos pontos de inflexão do gráfico de
Passo 1
O problema pede para achar os pontos de inflexão de f(x) = (x^2 – 4)^2, ou seja, os valores de x onde a concavidade muda. Para isso vamos usar a derivada segunda de f e analisar onde ela se anula e muda de sinal.
Passo 2
Primeiro computamos a derivada primeira e depois a segunda de f. Temos f(x) = (x^2 – 4)^2. Então
Derivando novamente,
Passo 3
Agora igualamos f’’(x) a zero para encontrar candidatos a inflexão:
Esses são os pontos onde a derivada segunda se anula.
Passo 4
Para confirmar que há troca de concavidade em x = ±2/√3, analisamos o sinal de f’’(x):
- Se |x|>2/√3, então x^2>4/3 ⇒ 12x^2–16>0, concavidade para cima.
- Se |x|<2/√3, então x^2<4/3 ⇒ 12x^2–16<0, concavidade para baixo.
Logo, em x = ±2/√3 ocorre mudança de concavidade, caracterizando pontos de inflexão.
Passo 5
Para obter as coordenadas completas, avaliamos f em x = ±2/√3. Como x^2 = 4/3,
Resposta
Os pontos de inflexão são (2/√3, 64/9) e (–2/√3, 64/9).