Seja f(x)=(x^2-4)^2. Identifique a localização:
dos pontos de inflexão do gráfico de f.

Passo 1

O problema pede para achar os pontos de inflexão de f(x) = (x^2 – 4)^2, ou seja, os valores de x onde a concavidade muda. Para isso vamos usar a derivada segunda de f e analisar onde ela se anula e muda de sinal.

Passo 2

Primeiro computamos a derivada primeira e depois a segunda de f. Temos f(x) = (x^2 – 4)^2. Então
f'(x) = 2(x^2 4) cdot (2x) = 4x(x^2 4)
Derivando novamente,
f''(x) = ddx[4x(x^2 4)] = 4(x^2 4) + 4xcdot 2x = 4(x^2 4) + 8x^2 = 12x^2 16

Passo 3

Agora igualamos f’’(x) a zero para encontrar candidatos a inflexão:
12x^2 16 = 0 Longrightarrow x^2 = 1612 = 43 Longrightarrow x = pm2raiz3
Esses são os pontos onde a derivada segunda se anula.

Passo 4

Para confirmar que há troca de concavidade em x = ±2/√3, analisamos o sinal de f’’(x):
  • Se |x|>2/√3, então x^2>4/3 ⇒ 12x^2–16>0, concavidade para cima.
  • Se |x|<2/√3, então x^2<4/3 ⇒ 12x^2–16<0, concavidade para baixo.
    Logo, em x = ±2/√3 ocorre mudança de concavidade, caracterizando pontos de inflexão.

Passo 5

Para obter as coordenadas completas, avaliamos f em x = ±2/√3. Como x^2 = 4/3,
fl(pmtfrac2raiz3r) = l(tfrac43 4r)^2 = l(-tfrac83r)^2 = tfrac649

Resposta

Os pontos de inflexão são (2/√3, 64/9) e (–2/√3, 64/9).

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