Calcule integralgamma F cdot d r onde
F(x, y, z)=(y-z, z-x, x-y)
gamma(t)=(a cos t, a sin t, b t), t in[0,2 pi]
Escolha uma opção:
  • 2 pi a(a+b)
  • 2 pi a^2 b
  • -2 pi a^2
  • -2 pi a^2 b
  • -2 pi a(a+b)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de um campo vetorial vec F(x,y,z)=(y-z,;z-x,;x-y) ao longo da curva gamma(t)=(acos t,;asin t,;b t), com tin[0,2pi]. Isso cai na matéria de integrais de linha de campos vetoriais, onde usamos a parametrização gamma(t) e a fórmula\n integralgamma vec Fcdot dvec r = integralt0^t1 vec Fl(gamma(t)r)cdot gamma'(t),dt

Passo 2

Substituímos x=acos t, y=asin t, z=b t na expressão de vec F e calculamos gamma'(t):
vec Fl(gamma(t)r)=l(asin t - b t,;b t - acos t,;acos t - asin tr),
gamma'(t)=l(-asin t,;acos t,;br)

Passo 3

Calculamos o produto escalar vec F(gamma(t))cdotgamma'(t):
vec Fcdotgamma'= -a^2(sin^2t+cos^2t) + ab,t(sin t+cos t) + ab(cos t-sin t)
E como sin^2t+cos^2t=1, isso vira:
-a^2 + ab,t(sin t+cos t) + ab(cos t-sin t)

Passo 4

Quebramos a integral em três partes:
  1. integral0^2pi -a^2,dt = -2pi a^2
  2. abintegral0^2pi t(sin t+cos t),dt = abl(underbraceintegral0^2pitsin t,dt=-2pi+underbraceintegral0^2pitcos t,dt=0r)=-2pi ab
  3. abintegral0^2pi(cos t-sin t),dt=0

Passo 5

Somando: (-2\pi a^2) + (-2\pi ab) + 0 = -2\pi a(a+b).

Resposta

-2 \pi a(a+b)

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