Seja C a parte da elipse 4 x^2+y^2=4 de (1,0) até (-1,0), com y >= 0. O valor da integral integralC(2 y+x^2) d x+(e^2 y+4 x) d y é:
Escolha uma opção:
  • 2(pi-3)
  • 2(pi-2)
  • 2(pi-13)
  • 2 pi
  • (pi-23)

Passo 1

A questão pede a integral de linha integralC (2y + x^2),dx + (e^2y + 4x),dy sobre a parte superior da elipse 4x^2 + y^2 = 4 de (1,0) a (-1,0). O conteúdo envolvido é integral de linha e Teorema de Green.

Passo 2

Definimos P(x,y)=2y+x^2 e Q(x,y)=e^2y+4x. Calculamos as derivadas parciais: partial P/partial y=2 e partial Q/partial x=4. Como não são iguais, o campo não é conservativo.

Passo 3

Para usar Green, fechamos o caminho juntando C com o segmento C2 em y=0 de (-1,0) a (1,0). No laço fechado orientado positivamente vale
oint (P,dx + Q,dy)=integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA

Passo 4

Note que partial Qpartial x-partial Ppartial y=4-2=2. Logo
oint (P,dx+Q,dy)=2integral duplaD dA=2cdotÁrea(D)Á

Passo 5

A região D é a metade superior da elipse x^21+y^24<=1. A área total da elipse é picdot1cdot2=2pi, logo a metade vale pi. Portanto
oint (P,dx+Q,dy)=2pi

Passo 6

Agora computamos a integral no segmento C2: em y=0,dy=0 temos
integralC2P,dx = integral-1^1x^2,dx = l[x^33r]-1^1 = 23,

Passo 7

Finalmente, como oint=integralC+integralC2, deduzimos
integralC = 2pi - 23 = 2l(pi - 13r)

Resposta

2l(pi-tfrac13r)

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