Calcule integralgamma x d y+2 x y d z com gamma a curva dada pela interseção de 2 x^2+y^2= 2+z^2 e x-z=1, tal que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Resumo da questão: precisamos calcular a integral de linha integralgamma x,dy + 2xy,dz, onde gamma é a curva fechada dada pela interseção dos dois níveis 2x^2+y^2=2+z^2 e x-z=1, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes para 1-formas no R^3.

Passo 2

Identificação da 1-forma e cálculo de domega: denotando omega = x,dy + 2xy,dz, temos
domega = d(x,dy) + d(2xy,dz) = dxwed>= dy + 2,d(xy)wed>= dz
e como
d(xy) = x,dy + y,dx,
segue
domega = dxwed>= dy + 2x,dywed>= dz + 2y,dxwed>= dz

Passo 3

Escolha da superfície S: a curva gamma está contida no plano x-z=1. Tomamos S como a porção deste plano limitada por gamma. Pela definição,
integralgammaomega = integral duplaS domega

Passo 4

Parametrização de S via projeção no plano xy: como z=x-1, usamos
r(x,y) = (x,y,x-1),
em que (x,y) percorre a região Dsubset R^2 dada pela projeção de gamma. Calculamos
rx = (1,0,1), ry=(0,1,0),
e então
dxwed>= dy(rx,ry)=1, dywed>= dz(rx,ry)=-1, dzwed>= dx(rx,ry)=0
Assim
domega(rx,ry) = 1cdot 1 + 2xcdot(-1) + 0 = 1 -2x

Passo 5

Cálculo da integral dupla: a projeção D é o círculo
(x+1)^2 + y^2 <= 4
de raio 2 e centro (-1,0). Logo
integral duplaD (1-2x),dx,dy = integral duplaD 1,dx,dy - 2 integral duplaD x,dx,dy
Como Area(D)=4pi e a média de x em D é -1), temos
integral duplaD 1,dx,dy =4pi, integral duplaD x,dx,dy =(-1)cdot4pi = -4pi
Portanto
integral duplaD (1-2x),dx,dy =4pi -2(-4pi) =4pi +8pi =12pi

Resposta

12\pi

Exercícios relacionados