Calcule
com
a curva dada pela interseção de
e
, tal que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Resumo da questão: precisamos calcular a integral de linha
, onde
é a curva fechada dada pela interseção dos dois níveis
e
, orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Stokes para 1-formas no
.
Passo 2
Identificação da 1-forma e cálculo de
: denotando
, temos
e como
segue
Passo 3
Escolha da superfície
: a curva
está contida no plano
. Tomamos
como a porção deste plano limitada por
. Pela definição,
Passo 4
Parametrização de
via projeção no plano xy: como
, usamos
em que
percorre a região
dada pela projeção de
. Calculamos
e então
Assim
Passo 5
Cálculo da integral dupla: a projeção
é o círculo
de raio 2 e centro
. Logo
Como
e a média de
em
é
, temos
Portanto
Resposta
12\pi