Sabe-se que lim x 2 f(x)=5 e f é definida em R. Todas as afirmativas abaixo são falsas. Tente desenhar um contra-exemplo para cada uma delas.
© f(2) é positivo

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f definida em ℝ cujo limite quando x→2 é 5. Queremos mostrar que a afirmação “f(2) é positivo” pode ser falsa, ou seja, construir um contra‐exemplo em que limₓ→2 f(x)=5 mas f(2) não seja maior que zero.

Passo 2

Para construir o contra‐exemplo, aproveitamos que o valor de f(2) não entra na definição de limite. Definimos f de forma que todos os pontos próximos a 2 se aproximem de 5, mas em x=2 escolhemos um valor negativo. Por exemplo:

Passo 3

f(x)=5,&xneq2,-1,&x=2

Passo 4

Nesse caso, para qualquer sequência xₙ→2 com xₙ≠2 temos f(xₙ)=5, logo limₓ→2 f(x)=5, mas f(2)=−1 que não é positivo. Assim, “f(2) é positivo” é falsa.

Resposta

Um contra‐exemplo é
f(x)=5,&xneq2,-1,&x=2
Aqui limₓ→2 f(x)=5 e f(2)=−1 (não positivo).

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