Calcule em que é a curva interseção do elipsoide com o plano , de modo que sua projeção no plano seja percorrida no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
onde é a curva de interseção do elipsoide
com o plano
com a orientação dada pela projeção de no plano percorrida no sentido horário.
Conteúdo: vamos aplicar o Teorema de Stokes, visto que o integrando é da forma com
Passo 2
Calculamos o rotacional do campo :
Passo 3
Escolhemos como superfície S a região elíptica no plano x+z=2 cujo contorno é gamma. A orientação de gamma (horário em xy) corresponde a um vetor normal apontando para baixo, ou seja
d S=-l(partialx z,;partialy z,;-1r),dAxy =-l(-1,0,1r),dAxy =l(1,0,-1r),dAxy,
pois z=2-x.
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes
ointgamma Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =integral duplaD(-1,1,0)cdot(1,0,-1),dAxy =integral duplaD1,dAxy
onde D é a projeção de S no plano xy. Assim o integral vale a área de D.
Passo 5
Para achar a equação de D, substituímos z=2-x no elipsoide: