Calcule integralgamma z d x-y d z em que gamma é a curva interseção do elipsoide x^29+y^28+ z^28=54 com o plano x+z=2, de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
ointgamma l(z,dx ;-;y,dzr)
onde gamma é a curva de interseção do elipsoide
x^29+y^28+z^28=54
com o plano
x+z=2,
com a orientação dada pela projeção de gamma no plano xy percorrida no sentido horário.
Conteúdo: vamos aplicar o Teorema de Stokes, visto que o integrando é da forma P,dx+Q,dy+R,dz com
P=z, Q=0, R=-y

Passo 2

Calculamos o rotacional do campo F=(P,Q,R)=(z,0,-y):
nablatimes F = i & j & k partialx & partialy & partialz z & 0 & -y =l(partialy(-y)-0,;partialz(z)-partialx(-y),;0-partialy(z)r) =(-1,;1,;0)

Passo 3

Escolhemos como superfície S a região elíptica no plano x+z=2 cujo contorno é gamma. A orientação de gamma (horário em xy) corresponde a um vetor normal apontando para baixo, ou seja
d S=-l(partialx z,;partialy z,;-1r),dAxy =-l(-1,0,1r),dAxy =l(1,0,-1r),dAxy,
pois z=2-x.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes
ointgamma Fcdot d r =integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =integral duplaD(-1,1,0)cdot(1,0,-1),dAxy =integral duplaD1,dAxy
onde D é a projeção de S no plano xy. Assim o integral vale a área de D.

Passo 5

Para achar a equação de D, substituímos z=2-x no elipsoide:
x^29+y^28+(2-x)^28=54 ;Longrightarrow; 17x^2+9y^2-36x-54=0
Isso é uma elipse centrada em l(tfrac1817,0r), cujos semieixos valem
ax=raiz1242289, ay=raiz1242153
Logo a área de D é
pi,ax,ay =pi,124217raiz153 =414pi17raiz17 =414raiz17,pi289

Resposta

ointgammal(z,dx - y,dzr) =414raiz17,pi289

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