Esboce o gráfico para a função f(x)=x^2-1x(x-2), analisando seus pontos de descontinuidade, fazendo um estudo do sinal da função (onde ela é zero, positiva e negativa) e determine as assíntotas horizontais e verticais

Passo 1

O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
f(x)=x^2-1x(x-2)
fazendo um estudo de:
– pontos de descontinuidade (domínio e possíveis assíntotas verticais),
– zeros e sinal de f(x) em cada intervalo do domínio,
– assíntotas horizontais.
Para isso vamos usar as técnicas de análise de funções racionais: fatorar numerador e denominador, verificar onde anula ou explode, fazer divisão polinomial para achar assíntota horizontal e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Determinar o domínio e as descontinuidades.
A função é racional, então o domínio é tudo que não anule o denominador:
x(x-2)neq0 ;Longrightarrow; xneq0,;xneq2
Como o numerador x^2-1=(x-1)(x+1) não cancela nenhum desses fatores, em x=0 e x=2 temos descontinuidades do tipo pólo, ou seja, assíntotas verticais em
x=0 e x=2

Passo 3

Achar a assíntota horizontal.
Como grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau 2), a assíntota horizontal é
y=coeficiente de x^2 no numeradorcoeficiente de x^2 no denominador = 11 =1
Alternativamente, fazemos a divisão:
x^2-1x^2-2x =1 + 2x-1x(x-2),
e o resto sobre o denominador tende a zero quando lvert xrverttoinfty, confirmando
y=1
como assíntota horizontal.

Passo 4

Determinar os zeros de f.
Zeros ocorrem quando o numerador zera e o denominador é diferente de zero. Temos
x^2-1=0 ;Longrightarrow; x=pm1,
e como pm1neq0,2, são zeros válidos. Logo, f(-1)=0 e f(1)=0.

Passo 5

Estudo de sinal:
Os pontos críticos são -1,0,1,2, pois aí numerador ou denominador mudam de sinal. Dividimos a reta em cinco intervalos e anotamos o sinal de cada fator:
(x+1), (x-1), x, (x-2)
Montando o quadro mental:
– Para x<-1: todos os fatores (x+1),(x-1),x,(x-2) são negativos, negativo timesnegativo timesnegativo timesnegativo = positivo Rightarrow f>0.
– Entre -1 e 0: (x+1)>0, os outros três ainda são negativos Rightarrow sinal = negativo Rightarrow f<0.
– Entre 0 e 1: (x+1)>0,(x-1)<0,x>0,(x-2)<0 Rightarrow (+)( -)( +)( -) =+Rightarrow f>0.
– Entre 1 e 2: (x+1)>0,(x-1)>0,x>0,(x-2)<0 Rightarrow (+)( +)( +)( -) = - Rightarrow f<0.
– Para x>2: todos os quatro são positivos Rightarrow f>0.

Passo 6

Comportamento junto às assíntotas verticais:
Usando o quadro de sinais, quando xto0^- o denominador muda de sinal mas numerador em -1< x<0 é negativo, então f(x)to +infty. Quando xto0^+, numerador continua negativo mas x>0 faz o denominador positivo timesnegativo = negativo, deu f(x)to -infty.
Analogamente, perto de x=2: para xto2^- temos intervalo 1<x<2 em que f<0, portanto f(x)to -infty; para xto2^+, em x>2 temos f>0, logo f(x)to +infty.

Resposta

Domínio:
O esboço do gráfico mostra curva cruzando o eixo e , aproximando-se verticalmente de e com comportamentos indicados, e nivelando-se em para .

Exercícios relacionados