Esboce o gráfico para a função
, analisando seus pontos de descontinuidade, fazendo um estudo do sinal da função (onde ela é zero, positiva e negativa) e determine as assíntotas horizontais e verticais
Passo 1
O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
fazendo um estudo de:
– pontos de descontinuidade (domínio e possíveis assíntotas verticais),
– zeros e sinal de em cada intervalo do domínio,
– assíntotas horizontais.
– pontos de descontinuidade (domínio e possíveis assíntotas verticais),
– zeros e sinal de
– assíntotas horizontais.
Para isso vamos usar as técnicas de análise de funções racionais: fatorar numerador e denominador, verificar onde anula ou explode, fazer divisão polinomial para achar assíntota horizontal e montar um quadro de sinais.
Passo 2
Determinar o domínio e as descontinuidades.
A função é racional, então o domínio é tudo que não anule o denominador:
A função é racional, então o domínio é tudo que não anule o denominador:
Como o numerador
não cancela nenhum desses fatores, em
e
temos descontinuidades do tipo pólo, ou seja, assíntotas verticais em
Passo 3
Achar a assíntota horizontal.
Como grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau ), a assíntota horizontal é
Como grau do numerador é igual ao grau do denominador (ambos grau
Alternativamente, fazemos a divisão:
e o resto sobre o denominador tende a zero quando
, confirmando
como assíntota horizontal.
Passo 4
Determinar os zeros de
.
Zeros ocorrem quando o numerador zera e o denominador é diferente de zero. Temos
Zeros ocorrem quando o numerador zera e o denominador é diferente de zero. Temos
e como
, são zeros válidos. Logo,
e
.
Passo 5
Estudo de sinal:
Os pontos críticos são , pois aí numerador ou denominador mudam de sinal. Dividimos a reta em cinco intervalos e anotamos o sinal de cada fator:
Os pontos críticos são
Montando o quadro mental:
– Para : todos os fatores
são negativos, negativo
negativo
negativo
negativo
positivo
.
– Entre e
:
, os outros três ainda são negativos
sinal
negativo
.
– Entre e
:
(
)(
(
)
.
– Entre e
:
(
(
(
)
.
– Para : todos os quatro são positivos
.
– Para
– Entre
– Entre
– Entre
– Para
Passo 6
Comportamento junto às assíntotas verticais:
Usando o quadro de sinais, quando o denominador muda de sinal mas numerador em
é negativo, então
. Quando
, numerador continua negativo mas
faz o denominador positivo
negativo
negativo, deu
.
Analogamente, perto de : para
temos intervalo
em que
, portanto
; para
, em
temos
, logo
.
Usando o quadro de sinais, quando
Analogamente, perto de
Resposta
Domínio:
O esboço do gráfico mostra curva cruzando o eixo e
, aproximando-se verticalmente de
e
com comportamentos indicados, e nivelando-se em
para
.