a) Mostre que para um campo
de clase
.
b) Mostre que
não pode ser escrito como rotacional de um outro campo
de classe
, isto é,
.
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Mostrar que para qualquer campo
de classe vale
- (b) Mostrar que o campo
não pode ser escrito como
para nenhum
.
Para isso vamos usar as definições de e
, mais o fato de que derivadas segundas mistas se comutam em
.
Para isso vamos usar as definições de
Passo 2
Recordando as fórmulas em coordenadas cartesianas: se
então
e para qualquer
Em classe
vale o teorema de Schwarz, isto é,
Passo 3
Agora calculamos
Reagrupando em pares e usando que derivadas mistas se igualam, cada termo cancela:
Logo
.
Passo 4
A conclusão de (a) nos dá um critério prático: se um campo
fosse igual a
para algum
, então obrigatoriamente
Passo 5
Para o campo dado
,
calculamos
calculamos
Esse resultado não é identicamente zero em .
Passo 6
Como
, não existe
tal que
, pois isso violaria o resultado de (a).
Resposta
a) Para todo campo
vale
.
b) O campo não pode ser um rotacional, pois
.
b) O campo