a) Mostre que para um campo F de clase C^2, div(rot(F))=0.
b) Mostre que F(x, y, z)=x z i+x y z j-y^2 k não pode ser escrito como rotacional de um outro campo G de classe C^2, isto é, F neq rot G.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que para qualquer campo F de classe C^2 vale
divl(rot(F)r)=0
  • (b) Mostrar que o campo
F(x,y,z)=x z,i+x y z,j-y^2,k
não pode ser escrito como rot(G) para nenhum GinC^2.
Para isso vamos usar as definições de rot e div, mais o fato de que derivadas segundas mistas se comutam em C^2.

Passo 2

Recordando as fórmulas em coordenadas cartesianas: se F=(F1,F2,F3) então
rot(F) =l(partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial yr),
e para qualquer V=(V1,V2,V3)
div(V) =partial V1partial x+partial V2partial y+partial V3partial z
Em classe C^2 vale o teorema de Schwarz, isto é,
partial^2 fpartial x,partial y =partial^2 fpartial y,partial x

Passo 3

Agora calculamos
divl(rot(F)r) =partialpartial xl(partial F3partial y-partial F2partial zr) +partialpartial yl(partial F1partial z-partial F3partial xr) +partialpartial zl(partial F2partial x-partial F1partial yr)
Reagrupando em pares e usando que derivadas mistas se igualam, cada termo cancela:
partial^2 F3partial x,partial y -partial^2 F2partial x,partial z +partial^2 F1partial y,partial z -partial^2 F3partial y,partial x +partial^2 F2partial z,partial x -partial^2 F1partial z,partial y =0
Logo
div(rot(F))=0.

Passo 4

A conclusão de (a) nos dá um critério prático: se um campo F fosse igual a rot(G) para algum GinC^2, então obrigatoriamente
div(F) =divl(rot(G)r) =0

Passo 5

Para o campo dado
,
calculamos
Esse resultado não é identicamente zero em .

Passo 6

Como div(F)neq 0, não existe GinC^2 tal que F=rot(G), pois isso violaria o resultado de (a).

Resposta

a) Para todo campo FinC^2 vale div(rot(F))=0.
b) O campo F(x,y,z)=xz,i+xyz,j-y^2,k não pode ser um rotacional, pois div(F)=z(1+x)neq0.

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