Calcule integralgamma z d x-y d z em que gamma é a curva interseção do elipsoide x^29+y^28+ z^28=54 com o plano ^y+z=2, de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
ointgamma z,dx ;-; y,dz
sobre a curva gamma definida pela interseção do elipsoide
x^29+y^28+z^28=54
com o plano
y+z=2,
orientada de modo que sua projeção no plano xy seja percorrida no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Stokes, interpretando
z,dx-y,dz
como o campo vetorial
F(x,y,z) = l(P,Q,Rr) = l(z,,0,,-yr),
e escolher como superfície S o disco elíptico contido no plano y+z=2 cujo contorno é gamma.

Passo 2

Calcular o rotacional de F:
nablatimes F = l(,tfracpartial Rpartial y-tfracpartial Qpartial z,; tfracpartial Ppartial z-tfracpartial Rpartial x,; tfracpartial Qpartial x-tfracpartial Ppartial yr) = l(-1,;1,;0r)

Passo 3

A superfície S está no plano y+z=2, cujo vetor normal natural é
m = (0,1,1)
Como a orientação exige que a projeção de gamma no plano xy seja horária, o vetor normal unitário deve ter a componente z negativa. Logo escolhemos
n = - m| m| = -(0,1,1)raiz2 = l(0,,-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r)

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes,
ointgamma Fcdot d r = integral duplaS (nablatimes F)cdot n ,dS
Calculamos o produto escalar constante:
(nablatimes F)cdot n = (-1,,1,,0)cdotl(0,,-tfrac1raiz2,,-tfrac1raiz2r) = -1raiz2
Logo
ointgamma z,dx - y,dz = -1raiz2,integral duplaS dS = -1raiz2,Area(S)

Passo 5

Para encontrar Area(S), projetamos S no plano xy. Na interseção temos z=2-y e a equação do elipsoide vira
x^29+y^28+(2-y)^28=54 ;Longrightarrow; x^29+(y-1)^24=1,
que é uma elipse de semi-eixos 3 e 2. Sua área projetada no xy é
Areaxy= picdot 3cdot 2 =6pi
Como dS = tfracdAxy|, ncdot k,| e | ncdot k|=|,-1/raiz2,|=1/raiz2, vem
Area(S) = raiz2;Areaxy = raiz2cdot 6pi =6raiz2,pi

Passo 6

Substituindo em Stokes:
ointgamma z,dx - y,dz = -1raiz2;l(6raiz2,pir) = -6pi

Resposta

-6pi

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