Calcule
em que
é a curva interseção do elipsoide
com o plano
, de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
sobre a curva
definida pela interseção do elipsoide
com o plano
orientada de modo que sua projeção no plano
seja percorrida no sentido horário.
Vamos usar o Teorema de Stokes, interpretando
como o campo vetorial
Vamos usar o Teorema de Stokes, interpretando
como o campo vetorial
e escolher como superfície
o disco elíptico contido no plano
cujo contorno é
.
Passo 2
Calcular o rotacional de
:
Passo 3
A superfície
está no plano
, cujo vetor normal natural é
Como a orientação exige que a projeção de
no plano
seja horária, o vetor normal unitário deve ter a componente
negativa. Logo escolhemos
Passo 4
Pelo Teorema de Stokes,
Calculamos o produto escalar constante:
Logo
Passo 5
Para encontrar
, projetamos
no plano
. Na interseção temos
e a equação do elipsoide vira
que é uma elipse de semi-eixos
e
. Sua área projetada no
é
Como
e
, vem
Passo 6
Substituindo em Stokes: