Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir:
sumn=1^infty x^nraiz[n]n (2,5)

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty x^nraiz[n]n.
Isso envolve conteúdo de séries de potências e o teste da raiz para determinar o raio e o intervalo de convergência.

Passo 2

Definimos o termo geral
an = x^nraiz[n]n
e aplicamos o teste da raiz, que exige calcular
limntoinftyraiz[n]l|anr| =limntoinftyraiz[n]|x|^n;raiz[n]1n^1/n =|x|;limntoinftyn^-1/n^2
Como
limntoinftyn^-1/n^2 =expl(-limntoinftyln nn^2r) =exp(0)=1,
segue que
limntoinftyraiz[n]|an|=|x|.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge se
|x|<1,
isto é, o raio de convergência é R=1 e a convergência acontece para xin(-1,1).

Passo 4

Agora verificamos os extremos:
Em x=1 a série fica
sumn=1^infty1n^1/n,
cujos termos não tendem a zero (ficam próximos de 1), logo diverge.
Em x=-1 a série fica
sumn=1^infty(-1)^nn^1/n,
e de novo |tfrac(-1)^nn^1/n|notto0, portanto diverge.

Resposta

O intervalo de convergência é (-1,1).

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