Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
z=\arctan (x y)-e^{-x+y}
z=\arctan (x y)-e^{-x+y}
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo envolve aplicação da regra da cadeia e derivada de funções compostas (arctan e exponencial). Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as segundas.
Passo 2
Cálculo de
e
.
Para usamos
Para
Para
temos
Como
,
Passo 3
Cálculo de
.
Derivando em relação a
:
– Para usamos produto
e regra da cadeia:
Derivando
– Para
– Para
:
Logo,
Passo 4
Cálculo de
.
Derivando em relação a
:
– Para , escrevemos
:
Derivando
– Para
– Para
:
Assim,
Passo 5
Cálculo de
(e observação de
).
Derivando em relação a
:
– Para :
Derivando
– Para
– Para
:
Logo,
E de fato vale
por teorema de Schwarz.