Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das seguintes funções:
z=\arctan (x y)-e^{-x+y}

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
z(x,y)=arctan(xy);-;e^-x+y
O conteúdo envolve aplicação da regra da cadeia e derivada de funções compostas (arctan e exponencial). Vamos primeiro achar as derivadas parciais de primeira ordem e depois derivar novamente para obter as segundas.

Passo 2

Cálculo de zx e zy.
Para u(x,y)=arctan(xy) usamos
partialpartial xarctan(xy) =11+(xy)^2cdotpartialpartial x(xy) =y1+(xy)^2,
partialpartial yarctan(xy) =11+(xy)^2cdotpartialpartial y(xy) =x1+(xy)^2
Para v(x,y)=e^-x+y temos
partialpartial xe^-x+y =e^-x+ycdot(-1)=-e^-x+y, partialpartial ye^-x+y =e^-x+ycdot1=e^-x+y
Como z=u-v,
zx =y1+(xy)^2-l(-e^-x+yr) =y1+(xy)^2+e^-x+y,
zy =x1+(xy)^2-e^-x+y

Passo 3

Cálculo de zxx.
Derivando zx=y1+(xy)^2+e^-x+y em relação a x:
– Para y1+(xy)^2 usamos produto ycdot(1+(xy)^2)^-1 e regra da cadeia:
partialpartial xl[y(1+(xy)^2)^-1r] =ycdot(-1)(1+(xy)^2)^-2cdot2(xy),y =-2x,y^3l(1+(xy)^2r)^2
– Para e^-x+y:
partialpartial xe^-x+y =-e^-x+y
Logo,
zxx =-2x,y^3l(1+(xy)^2r)^2;-,e^-x+y

Passo 4

Cálculo de zxy.
Derivando zx=y1+(xy)^2+e^-x+y em relação a y:
– Para y1+(xy)^2, escrevemos y,(1+(xy)^2)^-1:
partialpartial yl[y(1+(xy)^2)^-1r] =(1+(xy)^2)^-1 +ycdot(-1)(1+(xy)^2)^-2cdot2(xy),x =11+(xy)^2-2x^2y^2l(1+(xy)^2r)^2
– Para e^-x+y:
partialpartial ye^-x+y =e^-x+y
Assim,
zxy =11+(xy)^2 -2x^2y^2l(1+(xy)^2r)^2 +e^-x+y

Passo 5

Cálculo de zyy (e observação de zyx=zxy).
Derivando zy=x1+(xy)^2-e^-x+y em relação a y:
– Para x1+(xy)^2=x,(1+(xy)^2)^-1:
partialpartial yl[x(1+(xy)^2)^-1r] =xcdot(-1)(1+(xy)^2)^-2cdot2(xy),x =-2x^3yl(1+(xy)^2r)^2
– Para -e^-x+y:
partialpartial yl[-e^-x+yr] =-e^-x+y
Logo,
zyy =-2x^3yl(1+(xy)^2r)^2 ;-,e^-x+y
E de fato vale zyx=zxy por teorema de Schwarz.

Resposta

zx=y1+(xy)^2+e^-x+y, zy=x1+(xy)^2-e^-x+y,
zxx=-2x,y^3l(1+(xy)^2r)^2-e^-x+y, zxy =11+(xy)^2 -2x^2y^2l(1+(xy)^2r)^2 +e^-x+y,
zyy=-2x^3yl(1+(xy)^2r)^2-e^-x+y, zyx=zxy

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