Calcule integralgamma F d r onde F=(-yx^2+y^29+y, xx^2+y^29+3 x) se gamma é a curva (x-1)^2+(y-2)^2=4, percorrida uma vez no sentido horário.
Resp. -8 pi.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha integralgammavec Fcdot dvec r onde
vec F(x,y)=l(,-y,/l(x^2+y^2/9r)+y,;x,/l(x^2+y^2/9r)+3xr)
e a curva gamma é o círculo de centro (1,2) e raio 2, orientado no sentido horário. O conteúdo envolve decomposição de campo vetorial, análise de singularidades e uso do Teorema de Green.

Passo 2

Decomponho o campo em duas partes:
vec F=vec F1+vec G
de modo que .

Passo 3

Analisando vec F1: ela é singular apenas em (0,0), mas o círculo (x-1)^2+(y-2)^2=4 não envolve o ponto (0,0) (distância do centro ao origem é raiz5>2). Logo
ointgammavec F1cdot dvec r=0

Passo 4

Para vec G=(P,Q) com P=y e Q=3x, aplico o Teorema de Green:
ointgammay,dx+3x,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA =integral duplaD(3-1),dA =2cdotÁrea(D) Á
Aqui D é o disco de raio 2, área 4pi. Então, para orientação horário, inverto o sinal:
ointgammavec Gcdot dvec r=-2times4pi=-8pi

Passo 5

Somando as partes: 0+(-8pi)=-8pi.

Resposta

-8\pi

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