Calcule
onde
se
é a curva
, percorrida uma vez no sentido horário.
Resp.
.
Resp.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
onde
e a curva é o círculo de centro
e raio 2, orientado no sentido horário. O conteúdo envolve decomposição de campo vetorial, análise de singularidades e uso do Teorema de Green.
e a curva
Passo 2
Decomponho o campo em duas partes:
de modo que .
de modo que
Passo 3
Analisando
: ela é singular apenas em
, mas o círculo
não envolve o ponto
(distância do centro ao origem é
). Logo
Passo 4
Para
com
e
, aplico o Teorema de Green:
Aqui
é o disco de raio 2, área
. Então, para orientação horário, inverto o sinal:
Passo 5
Somando as partes:
.
Resposta
-8\pi