Determine a continuidade da função f(x) = 1x^2 - 1 em x = 1.

Passo 1

Enunciado: A função é f(x)= 1x^2-1 e queremos saber se ela é contínua em x=1. O conteúdo usado é continuidade de funções reais, e vamos precisar da definição de continuidade (valor da função no ponto e limite) e da análise do domínio da função.

Passo 2

Definição de continuidade: Uma função f é contínua em x=a se existirem f(a) e limxto af(x) e ainda limxto af(x)=f(a). Primeiro, verificamos se f(1) existe.

Passo 3

Análise do domínio: Para f(x)= 1x^2-1, o denominador é zero em x=1 (e x=–1), pois 1^2-1=0. Logo, f(1) não existe, pois não está definido em x=1.

Passo 4

Cálculo dos limites laterais: Avaliando limxto1^-1x^2-1, aproximando-se por valores menores que 1, o denominador é negativo e tende a zero, gerando -infty. Para limxto1^+1x^2-1, aproximando-se por valores maiores que 1, o denominador é positivo e tende a zero, gerando +infty. Não há limite finito único em x=1.

Resposta

A função não é contínua em x=1. Trata-se de uma discontinuidade infinita (vertical).

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