Calcule
, onde
é uma curva de classe
, cuja imagem é a elípse
, e tal que quando
varia de
até
descreve a elípse no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é uma curva que descreve uma elipse de equação
no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre uma região. Vamos dividir isso em passos para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a nossa integral de linha. Temos
e
. A integral fica então:
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema diz que:
onde
é a região dentro da curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, nossa integral dupla fica:
Vamos calcular a área da elipse. A equação da elipse é
, onde
e
. A área
de uma elipse é dada por:
Passo 6
Agora, multiplicando pela constante 2 que tínhamos:
Resposta
O valor da integral é
.