Calcule integralgamma-y d x+x d y, onde gamma:[a, b] R^2 é uma curva de classe C^1, cuja imagem é a elípse x^24+y^29=1, e tal que quando t varia de a até b, gamma(t) descreve a elípse no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralgamma -y , dx + x , dy, onde gamma é uma curva que descreve uma elipse de equação x^24+y^29=1 no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e o Teorema de Green, que ajuda a transformar integrais de linha em integrais duplas sobre uma região. Vamos dividir isso em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a nossa integral de linha. Temos P = -y e Q = x. A integral fica então:
integralgamma P , dx + Q , dy

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green. Esse teorema diz que:
integralgamma P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dx , dy
onde D é a região dentro da curva gamma.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Substituindo na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora, nossa integral dupla fica:
integral duplaD 2 , dx , dy = 2 times Área da elipse Á
Vamos calcular a área da elipse. A equação da elipse é x^24+y^29=1, onde a=2 e b=3. A área A de uma elipse é dada por:
A = pi a b = pi times 2 times 3 = 6pi

Passo 6

Agora, multiplicando pela constante 2 que tínhamos:
2 times 6pi = 12pi

Resposta

O valor da integral é 12pi.

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