Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo
, da região delimitada pelo gráfico de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido gerado quando giramos em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva
é uma linha reta que cruza o eixo
em
e tem inclinação positiva. As linhas
e
são linhas verticais que delimitam nossa região horizontalmente, e
é o eixo
, que delimita a parte inferior.
Passo 3
Para usar o método dos discos, vamos considerar um pequeno elemento na direção de
, ou seja, um “disco” de espessura
. O volume desse disco é a área da face circular multiplicada pela espessura.
Passo 4
A área da face do disco é
, onde
é o raio do disco. Nesse caso, o raio é a distância da curva
até o eixo
, que é simplesmente o valor de
.
Então,
.
Passo 5
Portanto, a área da face do disco é:
Passo 6
Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de
até
:
Passo 7
Vamos expandir o termo
para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de
a
:
Simplificando:
Passo 10
Vamos somar os termos:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.