Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região delimitada pelo gráfico de y=2 x-1, x=0, x=4 e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido gerado quando giramos em torno do eixo x a região limitada pelas curvas y = 2x - 1, x = 0, x = 4 e y = 0. Vamos usar o método dos discos, que é uma técnica para encontrar volumes de sólidos de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. A curva y = 2x - 1 é uma linha reta que cruza o eixo y em -1 e tem inclinação positiva. As linhas x = 0 e x = 4 são linhas verticais que delimitam nossa região horizontalmente, e y = 0 é o eixo x, que delimita a parte inferior.

Passo 3

Para usar o método dos discos, vamos considerar um pequeno elemento na direção de x, ou seja, um “disco” de espessura dx. O volume desse disco é a área da face circular multiplicada pela espessura.

Passo 4

A área da face do disco é pi r^2, onde r é o raio do disco. Nesse caso, o raio é a distância da curva y = 2x - 1 até o eixo x, que é simplesmente o valor de y.
Então, r = y = 2x - 1.

Passo 5

Portanto, a área da face do disco é:
A(x) = pi (2x - 1)^2

Passo 6

Agora, para encontrar o volume total, vamos integrar essa área de x = 0 até x = 4:
V = integral0^4 pi (2x - 1)^2 , dx

Passo 7

Vamos expandir o termo (2x - 1)^2 para facilitar a integração:
(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1
Então, a integral fica:
V = pi integral0^4 (4x^2 - 4x + 1) , dx

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (4x^2 - 4x + 1) , dx = 43x^3 - 2x^2 + x

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 0 a 4:
V = pi [ ( 43(4)^3 - 2(4)^2 + 4 ) - ( 43(0)^3 - 2(0)^2 + 0 ) ]
Simplificando:
V = pi ( 43 cdot 64 - 2 cdot 16 + 4 )
V = pi ( 2563 - 32 + 4 )

Passo 10

Vamos somar os termos:
2563 - 32 + 4 = 2563 - 963 + 123 = 256 - 96 + 123 = 1723

Resposta

O volume do sólido de revolução é V = 1723 pi unidades cúbicas.

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