Seja F(x, y)=(3+2 x y) i+(x^2-3 y^2) j um campo vetorial.
© (3 pontos) Utilize o Teorema Fundamental para Integrais de Linha para calcular integralC F cdot d r onde C é a curva definida por
r(t)=e^t sin (t) i+e^t cos (t) j, 0 <= t <= pi

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral de linha integralC F cdot dr onde F(x,y)=(3+2xy),i+(x^2-3y^2),j e a curva C é dada por r(t) = e^tsin t,i + e^tcos t,j,;0<= t<= pi. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental para Integrais de Linha, então vamos precisar verificar se F é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f(x,y).

Passo 2

Primeiro a gente checa se F é conservativo, ou seja, se satisfaz partial P/partial y = partial Q/partial x. Aqui P(x,y)=3+2xy e Q(x,y)=x^2-3y^2. Calculando:
partial Ppartial y = 2x, partial Qpartial x = 2x

Passo 3

Como os dois são iguais em todo R^2, F é conservativo. Agora vamos achar uma função potencial f(x,y) tal que nabla f = F. Integrando P em relação a x:
f(x,y) = integral (3 + 2xy),dx = 3x + x^2y + g(y), onde g(y) é uma função só de y. Para determinar g(y), usamos fy = Q:
fy = x^2 + g'(y) = x^2 - 3y^2 implies g'(y) = -3y^2 implies g(y) = -y^3 + C

Passo 4

Logo podemos tomar como potencial (ignorando a constante)
f(x,y) = 3x + x^2y - y^3

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental para Integrais de Linha,
integralC Fcdot dr = fl(r(pi)r) - fl(r(0)r)

Passo 6

Precisamos só avaliar em t=0 e t=pi. Temos
r(0) = (0,1), r(pi) = (0,-e^pi)

Passo 7

Calculando
f(0,1) = 3cdot0 + 0^2cdot1 - 1^3 = -1, f(0,-e^pi) = 3cdot0 + 0^2(-e^pi) - (-e^pi)^3 = -(-e^3pi) = e^3pi

Passo 8

Portanto
integralC Fcdot dr = f(0,-e^pi) - f(0,1) = e^3pi - (-1) = e^3pi + 1

Resposta

e^{3\pi} + 1

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