Calcule integralgamma(2 y+1) d x+z d y+x d z, sendo gamma a intersecção das superfícies x^2+4 y^2=1 e x^2+z^2=1, com y >= 0, z >= 0, percorrida uma vez do ponto (1,0,0) ao ponto (-1,0,0).
Resp. -2.

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral de linha integralgamma(2y+1),dx + z,dy + x,dz, onde gamma é a curva de interseção das superfícies x^2 + 4y^2 = 1 e x^2 + z^2 = 1, com as restrições y>=0 e z>=0, percorrida de (1,0,0) até (-1,0,0). O conteúdo aqui é parametrização de curva em 3D e integração de linha de um campo vetorial.

Passo 2

Precisamos parametrizar gamma. Note que da segunda equação temos x^2 + z^2 = 1, então podemos usar x = costheta, z = sintheta. Da primeira, 4y^2 = 1 - x^2 = sin^2theta, logo y = tfrac12|sintheta|. Como queremos y>=0 e z=sintheta>=0, escolhemos thetain[0,pi] e definimos

Passo 3

r(theta) = l(costheta,; tfrac12sintheta,; sinthetar), 0<=theta<=pi

Passo 4

Agora calculamos as derivadas:
x'(theta) = -sintheta, y'(theta) = tfrac12costheta, z'(theta) = costheta
Substituindo na integral de linha de F=(2y+1,,z,,x), temos

Passo 5

integralgamma (2y+1),dx + z,dy + x,dz = integral0^pi l[(2y+1)x' + zy' + xz'r] ,dtheta

Passo 6

Detalhando o integrando:
2y+1 = 2cdottfrac12sintheta +1 = sintheta+1,
então
(sintheta+1)(-sintheta) + sinthetacdottfrac12costheta + costhetacdotcostheta
Isso dá

Passo 7

-sin^2theta - sintheta + tfrac12sinthetacostheta + cos^2theta

Passo 8

Observando que -sin^2theta + cos^2theta = cos2theta, o integrando fica
cos2theta - sintheta + tfrac12sinthetacostheta

Passo 9

Integramos termo a termo de 0 a pi:
  • integral0^pi cos2theta,dtheta = l[tfrac12sin2thetar]0^pi = 0,
  • integral0^pi (-sintheta),dtheta = [costheta]0^pi = -2,
  • integral0^pi tfrac12sinthetacostheta,dtheta = l[tfrac14sin^2thetar]0^pi = 0

Resposta

-2

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