Calcule
(a) integralgamma x d x+(y+x) d y+z d z, sendo gamma a intersecção das superfícies z=x^2+y^2 e z=2 x+2 y-1, orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido horário.
Resp. -pi.

Passo 1

Estamos integrando a 1-forma sobre a curva γ que é a interseção de z = x² + y² e z = 2x + 2y − 1. O conteúdo aqui envolve redução da integral usando a relação entre z, x e y e depois aplicação do Teorema de Green na projeção no plano xy.

Passo 2

Sobre γ vale z = x² + y², de modo que podemos substituir dz por derivada total. Calculamos
dz = d(x^2 + y^2) = 2x,dx + 2y,dy

Passo 3

Substituindo em
x,dx + (y+x),dy + z,dz
usando z = x² + y² e o dz acima, obtemos uma forma só em dx e dy:
x,dx + (y+x),dy + (x^2+y^2)(2x,dx + 2y,dy) = P(x,y),dx + Q(x,y),dy,
com
P(x,y) = x + 2x(x^2+y^2),
Q(x,y) = (y+x) + 2y(x^2+y^2)

Passo 4

A projeção de γ no plano xy é o círculo (x−1)² + (y−1)² = 1 percorrido no sentido horário. Pelo Teorema de Green, para orientação horária vale
ointC P,dx + Q,dy = -integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 5

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = 1 + 4xy,
partial Ppartial y = 4xy,
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partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1

Passo 6

Como a área de D é π·1² = π, a integral fica
ointgamma omega = - integral duplaD 1,dA = -pi

Resposta

-\pi

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