Calcule
(a) 
 , sendo 
  a intersecção das superfícies 
  e 
 , orientada de modo que sua projeção no plano 
  seja percorrida uma vez no sentido horário.
Resp. 
 .
(a)
Resp.
Passo 1
Estamos integrando a 1-forma sobre a curva γ que é a interseção de z = x² + y² e z = 2x + 2y − 1. O conteúdo aqui envolve redução da integral usando a relação entre z, x e y e depois aplicação do Teorema de Green na projeção no plano xy.
Passo 2
Sobre γ vale z = x² + y², de modo que podemos substituir dz por derivada total. Calculamos
Passo 3
Substituindo em
usando z = x² + y² e o dz acima, obtemos uma forma só em dx e dy:
com
Passo 4
A projeção de γ no plano xy é o círculo (x−1)² + (y−1)² = 1 percorrido no sentido horário. Pelo Teorema de Green, para orientação horária vale
Passo 5
Calculamos as derivadas parciais:
logo
Passo 6
Como a área de D é π·1² = π, a integral fica
Resposta
-\pi